整体思想的解题策略

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整体思想的解题策略

人们在考虑问题时，通常把一个问题分成若干个简单的小问题，尽可能地分散难点，然后再各个击破，分而治之。本文所要介绍的解题方法与上述习惯方法恰恰相反。在解题时，细察命题的外形，把握问题的特征，展开联想，将各个局部因素合而为一，创设整体或整体处理，从而达到问题的解决，此方法称为整体思想方法。这种方法运用得当，常能化难为易，使解题思路出现豁然开朗的情景，达到快捷、简便的解题目的。

一、构造整体

在解题中，注意到问题的特征、创设整体，从而使问题得到解决。 例1：证明

11352n?133…3＜ 2462n2n?11352n?12462n证：设M=33…3，N=33…3，显然M＜N

2462n3572n?11352n?12462n1则MN=(33…3)(33…3)=

2462n3572n?12n?1∵M2＜MN ∴M2＜

11 故M＜ 2n?12n?1评注：本解法抓住M，N这两个整体，使问题得到解决。本题还可以用数学归纳法证明，但显然较为繁琐。

例2：设三个方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共实数解，求实数a、b、c之间的关系。

解：设三个方程的公共实数根为x0，则 ax02+bx0+c=0 ① bx02+cx0+a=0 ② cx02+ax0+b=0 ③

①+②+③ (a+b+c)( x02+x0+1)=0

13∵x02+x0+1=(x0+)+＞0，∴a+b+c=0

24评注：本题欲求a、b、c关系，似乎难以下手，若能构造a+b+c这一整体，使问题的解决豁然开朗。

二、整体求解

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解题过程中，视所求问题为一整体，根据条件的结构特征，合理变形，直接得到问题的答案。

例3：设有四个数,其中每三个数之和分别为22、20、17、25，求此四个数。 解：设此四个数之和为x，则得方程

(x－22)+(x－20)+(x－17)+(x－25)=x，解得x=28 ∴四数依次为8、3、6、11

评注：本题解法考虑到四数之和——问题的整体，可使问题中四个数变为只是一个未知数，从而使问题得到有效的解决。本题若按通常解题习惯，须分别设四个数，然后列出四个方程所组成方程组，解题较繁。

例4：已知2sinα－cosα=1，求解：设

sin??cos??1的值

sin??cos??1sin??cos??1=k，则(1－k)sinα+(1+k)cosα=k－1①

sin??cos??1又2sinα－cosα=1 ②

3k?32k cosα=(k≠3)

3?k3?k2k23k?32

由()+()=1 解得k=0或k=2

3?k3?k解①②得sinα=

故原式的值为0或2 评注：本解法利用

sin??cos??1=k这一整体进行求解，能简捷解决问题。

sin??cos??1本题若由已知条件2sinα－cosα=1及sin2α+cos2α=1联立解得sinα、cosα的值，再代入求值，计算较为繁琐。

222

例 5、三棱锥S-ABC的个侧面互相垂直，它们的面积分别是S 6m,4m,和3m，求它的体积。

解 如图，设S-ABC的三侧棱长 分别为xm,ym,zm,体积为Z， 则由题意得

111A C xy=6, yz=4, zx=3 22211B ∴得(xyz)2=(24)2, 则V=xyz=324=4m3 66注 本题没用解方程组的方法，先求x,y,z，而将xyz视为一整体求值，故简捷而巧妙。

例 6、球面内接圆台的高为h，球心到母线的距离为p,则球内接圆台的侧面积

S=2πph

D C D C 分析与证明：如图，需求的

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是S=π(r’+r)l ① ,但r’,r,l均未知， A B A 下面寻找它们与已知量h,p的关系。 为此作辅助线，将r’,r,l,h,p 都集中到有联系的图形之中。 （1）作DD’⊥AB ? DD’=h

（2）作EO⊥AD ?E为AD的中点（垂直于弦的半径平分弦）

r'?r（3）作EE⊥OO ? EE=

2‘

’

‘

B

在Rt △DD‘A和Rt △EE‘O中 DA⊥OE

DD‘⊥EE‘ ?∠ADD‘=∠OEE‘

‘‘

∠ADD，∠OEE为锐角

r?r'EE'DD'h‘‘

即 2? ??△DDA∽△EEO?plOEAD?（r+r’）l=2ph ②

②代入①得 S=2πph

注 按常规解法，必须把r,r’,l分别用p,h表示出来，但这样做相当困难，且几乎是不可能的。此时我们便该调整思路，用整体思想，将（r+r’）l视为一整体来求值，这样问题便巧妙的得到解答。

三、整体换元

在解题中，往往巧设某一整体为辅助元或未知元，或将某未知元整体用另一些未知元整体代换，寻求解题思路。

例7：等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若求limn??an的值。 bnSn2n= Tn3n?1解：∵a1?a2n?1?2an，b1?b2n?1?2bn

1(a?a2n?1)an21∴==bn1(b1?b2n?1)2=

1(2n?1)(a1?a2n?1)S2=2n?1

1T2n?1(2n?1)(b1?b2n?1)22(2n?1)4n?2an2=，∴lim? n??3(2n?1)?16n?2bn3评注：本解法是根据等差数列的性质，m、n、p、q∈N，且m+n=p+q时，则am+an=ap+qq，再将其作为一个整体代入，灵活又简便。

例8、：已知f（x）=x5+ax3+bx? 8，且f（? 2）=10，求f（2）

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解： 设g（x）=f（x）+8=x5+ax3+bx

注意到g（x）= ?g（? x），即g（x）是奇函数，因此， g（2）=? g（? 2） ∴f（2）=g（2）? 8=? g（? 2）? 8=? [f（? 2）+8]? 8=? 26

评注：本题将f(? 2)看作一个整体，注意到g（x）=f（x）+8= x5+ax3+bx 是一个奇函数。使计算过程大大简化。将x5+ax3+bx看作整体而用g（x）代换，过程简捷明了。如用一般思路则会一筹莫展,这是因为，其一，a,b未知,其二，要解5次方程,而5次方程无法解.

四、整体变形

解题中，将条件等式看成一个整体，根据题目特点进行适当变形，以助解题进行。

例9：求函数f(x)=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值 解：f(x)=3sin(x+20°)+sin[(x+20°) +60°] =3sin(x+20°)+

31sin(x+20°)+ cos(x+20°)

22=

337sin(x+20°)+ cos(x+20°)= 13sin(x+20°+φ)(其中φ=arc tan)

272因此f(x)的最大值为13

评注：此题若按角形式展开,就没有思路了。本解法抓住x+80°=（x+20°）+60°这一整体，巧妙变形，使得问题得到解决。

??例10：已知Z是虚数，Z2+2Z是实数，且arg(3－z)= ，求复数Z。

4??22

解：将Z+2Z视为一个复数，利用Z+2Z∈R

??2???∴Z+2Z=Z+2Z，故(Z－Z)(Z+Z)=2(Z－Z)

2

??∵Z是虚数 ∴Z－Z≠0 ∴Z+Z=2

故可设Z=1+yi(y∈R，且y≠0) ∴arg(3－Z)=arg(2－yi)=

2

?，故y=－2，于是Z=1－2i 4?评注：本解法将Z+2Z将为一个整体，然后利用复数为实数的充要条件是?Z=Z，从而得到问题的解决。可以发现，运用整体思维方法，分析复数问题常

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