近世代数答案

1：证明：:实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。

证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。 （2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。 （3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。 （4）零元是零矩阵。?A∈Mn(R),A+0=0+A=A。 （5）?A∈Mn(R),负元是-A。A+(-A)=(-A)+A=0。 ∴（Mn(R),+）构成一个Abel群。

2：证明：实数域R上全体n阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n阶一般线形群。 证明：显然GLn(R)是个非空集合。

对于任何的A,B∈GLn(R)，令C=AB, 则C=|AB|=|A||B|≠0,所以C∈GLn(R)。

⑴因为举证乘法有结合律，所以结合律成立。 ⑵对任意A∈GLn(R)，AE=EA，所以E是单位元。

⑶任意的A∈GLn(R)，由于∣A∣≠0,∴A的逆矩阵A?1，满足AA?1?A?1A?E且∴A的逆元是 所以，GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。

A?1.

3：证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n阶正交群. 证：（1）由于E∈On (R),∵On (R)非空。

(2 ) 任意A,B∈On (R)，有（AB）T=BTAT=B-1A-1=(AB) -1, ∴AB∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。 (3) ∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。 （4）对任意A∈On (R)，有AE=EA=A． ∴E为On (R)的单位元。

（5）对任意A∈On (R)，存在AT∈On (R)， 满足AAT=E=AA-1, ATA=E=A-1A． ∴AT为A在On (R)中的逆元。 ∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。

4：证明：所有行列式等于1的n阶整数矩阵组成的集合SLn(Z),关于矩阵的乘法构成群。

证明：∵En∈SLn(Z)，∴SLn(Z)是个非空集合。

对任意A,B∈ SLn(Z),记C=AB,则C是整数矩阵，且C=∣AB∣=∣A∣∣B∣=1,∴C∈SLn(R)，即SLn(R)关于矩阵的乘法封闭。

（1） ∵矩阵乘法有结合律，∴结合律成立。 （2） 对任意的A∈SLn(Z)，AE=EA=A,且E∈SLn9Z),∴A的单位元是单位矩阵E。

（3） 对任意的A∈ SLn(Z),因为A∈Mn(Z),故

A?1A∈Mn(Z),又A??A*且

A*?1A?1?A?1,所以A?1∈SLn(Z),又AA?1?A?1A?E,故A的逆元

为A?1 。所以 ，SLn（Z）关于矩阵乘法构成群。 5:在整数集中,规定运算“∈”如下：a⊕b=a+b-2, 明：（Z, ⊕）构成群。

证 （1）对于任意a，b⊕Z有 a⊕b=a+b-2∈Z， 于是“⊕”在Z上构成代数运算。 （2）对于任意a，b∈Z有，（a⊕b）⊕c=a+b+c-4． a⊕(b⊕c)=a⊕(b+c-2)=a+b+c-4， ∴(a⊕b) ⊕c=a⊕(b⊕c)于是结合律成立．

（3）对于任意的a，b∈Z ， a⊕b=a+b-2=b+a-2=b⊕a， 那么“⊕”在Z上有交换律。

（4）对于任意的a∈Z， 有2⊕a=2+a-2=a， ∴2为单位

?a,b∈Z.证

元．

（5）对于任意的a∈Z， 有4-a∈Z．

(4-a) ⊕a=4-a+a-2=2， ∴4-a为a的逆元。 ∴（Z, ⊕）构成群。

6：分别写出下列各群的乘法表。 （1）例6中的群；

1 -1 i -i (3)群Z7*； 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 3 3 6 2 5 1 4 4 4 1 5 2 6 3 5 5 3 1 6 4 2 6 6 5 4 3 2 1 1 1 -1 I -i -1 -1 1 -i i i i -i -1 1 -i -i i 1 -1 (4)群U(18). 1 1 1 5 5 7 7 11 11 13 13 17 17