2019届高考数学一轮复习第七章立体几何学案理

解析：由三视图知三棱锥如图所示， 底面ABC是直角三角形，AB⊥BC，

PA⊥平面ABC，BC＝27， PA2＋y2＝102，(27)2＋PA2＝x2，

因此xy＝x10－[x－27＝x128－x≤

2

2

2

2

]

2

2

x2＋128－x2

2

＝64，当且仅当x＝128－x，即x＝8时取等号，因此

xy的最大值是64.

答案：64

5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．

(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA.

解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm.

(2)由侧视图可求得PD＝PC＋CD＝6＋6＝62. 由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD， 所以在Rt△APD中，

2

2

2

2

2

PA＝PD2＋AD2＝

62

2

＋6＝63 cm.

2

6．四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，

BD，DC，CA于点E，F，G，H.

21

(1)求四面体ABCD的体积； (2)证明：四边形EFGH是矩形．

解：(1)由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∵BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，

112

∴四面体ABCD的体积V＝××2×2×1＝.

323

(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，又平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH， ∴FG∥EH.

同理，EF∥AD，HG∥AD，

∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形． ∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC， ∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．

第二节空间几何体的表面积与体积

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

侧面展开图 圆柱 圆锥 圆台 侧面积公式 2．空间几何体的表面积与体积公式

名称 几何体 柱体(棱柱和圆表面积 S圆锥侧＝πrl S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l 体积 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 22

柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( )

(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( ) (4)球的体积之比等于半径之比的平方．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×

2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A.

16

π 3

32 B.π

3 D．24π

S表面积＝S侧＋S底 13V＝Sh 13S表面积＝S侧＋S上＋S下 S＝4πR2 V＝(S上＋S下＋S上S下)h V＝πR3 43C．16π

432

解析：选B 设球的半径为R，则由4πR＝16π，解得R＝2，所以这个球的体积为πR332＝π. 3

3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A．20π C．28π

B．24π D．32π

解析：选C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：

23

l＝22＋23

2

12

＝4，S表＝πr＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.

2

4．(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以该几何体的体积V＝S·h＝

?1×2×3?×3＝33. ?2???

答案：33

5．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，则三棱锥A-B1DC1

的体积为________．

解析：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵AD⊥BC，AD⊥BB1，BB1∩BC＝B，∴AD⊥平面B1DC1. 111

∴VA-B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2×3×3＝1.

332答案：1

考点一 空间几何体的表面积

重点保分型考点——师生共研

空间几何体的表面积在高考中的考查多以三视图的形式给出，考查的载体多为柱体、锥体、球和简单组合体.题型为选择题或填空题，难度中等. 求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何问题的主要出发点. [典题领悟] 1．(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )

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