2019届高考数学一轮复习第七章立体几何学案理

ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥B1-A1BC1得到的，故其侧视图为选项B.

3．已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的四个侧面中面积最大的是( )

A．3 C．6

B．25 D．8

解析：选C 四棱锥如图所示，取AD的中点N，BC的中点M，连接

PM，PN，则PN＝5，PM＝3，S△PAD＝×4×5＝25，

S△PAB＝S△PDC＝×2×3＝3， S△PBC＝×4×3＝6.

所以四个侧面中面积最大的是6.

4．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为________．

12

12

12

解析：由题意可知，该几何体是三棱锥，将其放置在长方体中形状如图所示(图中棱锥P-ABC)，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面全部是直角三角形．

答案：4

5.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为43 m，则圆锥底面圆的半径等于________ m.

解析：把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，

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由题意OP＝4，PP′＝43， 4＋4－43

则cos∠POP′＝

2×4×4

2

2

2

12π＝－，所以∠POP′＝.

23

2π4

设底面圆的半径为r，则2πr＝×4，所以r＝.

334

答案：

3

6．已知正三棱锥V -ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．

(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解：(1)直观图如图所示．

(2)根据三视图间的关系可得BC＝23， ∴侧视图中VA＝

3?2?22

4－?××23?＝23，

?32?

1

∴S△VBC＝×23×23＝6.

2

7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．

(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA.

解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm.

(2)由侧视图可求得PD＝PC＋CD＝6＋6＝62. 由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，

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2

2

2

2

2

所以在Rt△APD中，

PA＝PD2＋AD2＝

62

2

＋6＝63 cm.

2

C级——重难题目自主选做

1．(2018·泉州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )

A．圆弧 C．椭圆的一部分

B．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分

解析：选D 根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.

2.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )

A．①② C．③④

B．①③ D．②④

解析：选D 由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)．若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.

(二)重点高中适用作业

A级——保分题目巧做快做

1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同

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一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )

解析：选B 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.

2.已知点E，F，G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1

的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，

P为顶点的三棱锥P-MNQ的俯视图不可能是( )

解析：选C 当M与F重合，N与G重合，Q与E重合，P与B1重合时，三棱锥P-MNQ的俯视图为A；当M，N，Q，P是所在线段的中点时，三棱锥P-MNQ的俯视图为B；当M，N，

Q，P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P-MNQ，使其俯视图为D.故选C.

3.已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )

解析：选C 由已知条件得直观图如图所示，PC⊥底面ABC，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故选C.

4．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是如图2所示的矩形

O1A1B1C1，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为( )

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