2019届高考数学一轮复习第七章立体几何学案理

20＋82.

答案：20＋82

7.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．

解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，

BD＝23，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OA⊥BD，OC⊥BD，结合

正视图可知AO⊥平面BCD.

又OC＝CD－OD＝1，

1?13?∴V三棱锥A-BCD＝×?×23×1?×1＝.

3?23?答案：

3 3

2

2

8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以1111133

其体积为2－××2×2×2－××1×1×1＝.

32322

13

答案：

2

9．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？

解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为

S，

则??＋r＝R， ?2?

即h＝2R－r.

因为S＝2πrh＝4πr·R－r＝ 4πr·R－r2

2

2

2

2

2

2

?h?2

22

≤4π

r2＋R2－r2

4

2

＝2πR，

2

45

当且仅当r＝R－r，即r＝即当内接圆柱底面半径为

222

2

R时，取等号， 2

2

R，高为2R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2. 2

10．已知A，B，C是球O的球面上三点，且AB＝AC＝3，BC＝33，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，求三棱锥D -ABC体积的最大值．

解：如图，在△ABC中， ∵AB＝AC＝3，BC＝33， ∴由余弦定理可得 3＋3－33

cos A＝

2×3×3∴sin A＝

3. 2

2

2

2

1＝－，

2

33

设△ABC外接圆O′的半径为r，则＝2r，得r＝3.

32

设球的半径为R，连接OO′，BO′，OB，则R＝??＋3，解得R＝23.

?2?3

由图可知，当点D到平面ABC的距离为R时，三棱锥D -ABC的体积最大，

21393

∵S△ABC＝×3×3×＝，

224

19327

∴三棱锥D -ABC体积的最大值为××33＝.

344B级——拔高题目稳做准做

1.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为( )

3

A. 41C. 2

1 B.

43 D.

8

2

?R?2

2

1

解析：选C 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为×2×(2＋4)＝6的四

2棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值

46

1为. 2

2．(2018·江西七校联考)如图，四边形ABCD是边长为23的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是( )

A．6π C．18π

B．12π D．92π

解析：选C 因为∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可将四面体补成一个长方体(PA，

PE，PF是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径

为R，由题意知2R＝4π?

3

2

＋3

2

＋23

2

＝32，故该球的表面积S＝4πR＝

2

?32?2

?＝18π. ?2?

3．设球O是正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，

则球O的半径为( )

3A. 2C.3 2

B．3

D.3

解析：选B 如图，易知BD1过球心O，且BD1⊥平面ACD1，不妨

a1

设垂足为M，正方体棱长为a，则球半径R＝，易知DM＝DB1，∴OM23

13

＝DB1＝a，∴截面圆半径r＝66＝πr＝6π，得r＝

2

?a?2－OM2＝6a，由截面圆面积S?2?6??

6aa＝6，a＝6，∴球O的半径为R＝＝3. 62

4.如图所示，等腰△ABC的底边AB＝66，高CD＝3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE＝x，V(x)表示四棱锥

P-ACFE的体积，则V(x)的最大值为________．

解析：因为PE⊥EF，PE⊥AE，EF∩AE＝E， 所以PE⊥平面ABC. 因为CD⊥AB，FE⊥AB，

47

所以EF∥CD，所以＝， 即＝，所以EF＝， 33661

所以S△ABC＝×66×3＝96，

2

EFBECDBDxEFxS△BEF＝×x×

12

x6

＝

62

x， 12

12?1?6?6?

所以V(x)＝×?96－x2?x＝x?9－x?(0＜x＜36)．

3?3?12?12?因为V′(x)＝

6?12?

?9－x?， 3?4?

所以当x∈(0,6)时，V′(x)＞0，V(x)单调递增； 当6＜x＜36时，V′(x)＜0，V(x)单调递减， 因此当x＝6时，V(x)取得最大值126. 答案：126

5.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，

CC1＝2，求：

(1)该几何体的体积； (2)截面ABC的面积．

解：(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2. 由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，则该几何体的体积V＝VA1B1C1-A2B2C＋VC-ABB2A2

111

＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6. 232(2)在△ABC中，AB＝2＋4－3

2

2

＝5，

BC＝22＋3－2AC＝

22

2

2

＝5，

2

＋4－2

5

＝23.

2

1

则S△ABC＝×23×

2

－3

2

＝6.

33

6．已知矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AD＝2，AB＝3，AF＝，

2

M为EF的中点，求多面体M -ABCD的外接球的表面积．

48