高考大一轮总复习10.3变量间的相关关系、统计案例

的情况，具体数据如下表：

专业 性别 男 女 非统计专业 13 7 统计专业 10 20 [答案] 5%

[解析] 由K2≈4.844＞3.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%. (2)[2017·江西九江模拟]某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到如下所示的频数分布表. 分数段 男 女 [40， 50) 3 6 [50， 60) 9 4 [60， 70) 18 5 [70， 80) 15 10 [80， 90) 6 13 [90， 100] 9 2 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到K2的观测值k＝50×?13×20－10×7?2

≈4.844.

23×27×20×30

因为k>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．

附表：

P(K2≥k0) k0 答案：5% 解析：∵k>3.841，查临界值表，得P(K2≥3.841)＝0.05，故这种判断出错的可能性为5%.

0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 ①估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；

②规定80分以上为优分(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.

男生

女生 总计 附表及公式： 理科 13 7 20 文科 10 20 30 总计 23 27 50 2

优分 非优分 总计 100 [典题3] (1)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：

男 女 总计 已知P(K2≥3.841)≈0.05， P(K2≥5.024)≈0.025.

50×?13×20－10×7?2

根据表中数据，得到K＝≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系

23×27×20×30

2

P(K2≥k0) k0 n?ad－bc?2K＝. ?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?

0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 [解] ①x男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5， x女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5， 从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关．

②由频数分布表可知，在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”

出错的可能性约为________．

5

中的优分有15人，

据此可得2×2列联表如下：

男生 女生 总计 2

55百元的人数 认为价 优分 15 15 30 非优分 45 25 70 总计 60 40 100 格偏高者 赞成 定价者 总计 2

55百元的人数 100×?15×25－15×45?2可得K＝≈1.79，

60×40×30×70

因为1.79<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”． [点石成金] 1.独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出K的值． 2．弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，根据题目要求作出正确的回答.

2

n?ad－bc?2附：K＝.

?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?

P(K2≥k0) k0 解：(1)“赞成定价者”的月平均收入为 x1＝

20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×4

1＋2＋3＋5＋3＋4

0.05 3.841 0.01 6.635 ≈50.56.

“认为价格偏高者”的月平均收入为 x2＝

20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×1

4＋8＋12＋5＋2＋1

[2017·广西玉林、贵港联考]某市地铁即将于2015年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下；

月收入 (单位： 百元) 赞成定 价者人数 认为价 格偏高 者人数 (1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；

(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.

[15， 25) [25， 35) [35， 45) [45， 55) [55， 65) [65， 75] ＝38.75，

∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元)．

1 2 3 5 3 4 (2)根据条件可得2×2列联表如下：

认为价格 偏高者 赞成 定价者 总计 月收入低于 55百元的人数 29 月收入不低于55 百元的人数 3 总计 4 8 12 5 2 1 32 11 40 7 10 18 50 月收入低于 月收入不低于 总计 6

50×?7×29－3×11?2

K＝≈6.27<6.635，

10×40×18×32

2

x＝y＝

8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9

＝10，

56.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8

＝8，

5

∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.

^

∴ a＝8－0.76×10＝0.4，

^^^^

[方法技巧] 1.求回归方程，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时^

应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为b，常数^

项为a，这与一次函数的习惯表示不同．)

2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程．

[易错防范] 1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．

2．独立性检验中统计量K2的观测值k的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错．

真题演练集训

1．[2015·福建卷]为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x(万元) 支出y(万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8 n

^

∴ 当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．

2．[2016·新课标全国卷Ⅲ]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：?yi＝9.32，?tiyi＝40.17,

i＝1i＝1

7

7

7?yi－

y?2＝0.55，7≈2.646.

i＝1

i＝1

? ?ti－t??yi－y?

^^^

，回归方程y＝bt＋a中斜率和截距的

2ni＝1

n

参考公式：相关系数r＝

ni＝1

? ?ti－t?? ?yi－y?2

^^^^^－^根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝y－b x.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )

A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 答案：B

解析：由题意知，

7

^

最小二乘估计公式分别为b＝

i＝1

? ?ti－t??yi－y?

? ?ti－t?2

n

^^，a＝y－bt.

i＝1

解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据，得

t＝4，? (ti－t)＝28，

i＝1

7

2

i＝1

? ?yi－y?＝0.55，

x y w 7

2

i＝1? (xi 8i＝1? (wi 8i＝1? (xi－ 8i＝1? (wi－ 82.89

? (ti－t)(yi－y)＝?tiyi－t?yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈0.55×2×2.646≈0.99. i＝1i＝1i＝1

7

7

7

－x)2 46.6 563 6.8 289.8 －w)2 1.6 x)(yi－y) 1 469 w)(yi－y) 108.8 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．

9.32(2)由y＝≈1.331及(1)，得

7

18

表中wi＝xi，w＝? xi.

8i＝1

(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

^b＝

i＝1

? ?ti－t??yi－y?

? ?ti－t?2

7

7

2.89＝≈0.103， 28

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，?，(un，vn)，其回归直线v＝α＋β u的斜率和截距

i＝1

^^

a＝y－bt≈1.331－0.103×4≈0.92. ^

所以，y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t. 将2016年对应的t＝9代入回归方程，得 ^

y＝0.92＋0.10×9＝1.82.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．

3．[2015·新课标全国卷Ⅰ]某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，?，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

^

的最小二乘估计分别为β＝

i＝1

? ?ui－u??vi－v?

? ?ui－u?2

n

n

^^，α＝v－βu.

i＝1

解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．

(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．

^由于d＝

i＝1

? ?wi－w??yi－y?

? ?wi－w?2

8

8

108.8＝＝68， 1.6

i＝1

^^

c＝y－dw＝563－68×6.8＝100.6，

8

^

所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6＋68w，