2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章 5 第5讲 指数与指数函数

第5讲 指数与指数函数

1．根式 (1)根式的概念

n①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

?x＝na，当n为奇数且n∈N，n>1时，

x＝a??

?x＝±na，当n为偶数且n∈N时.

*

n

*

(2)根式的性质

n

①(a)n＝a(n∈N*，且n>1)． a，n为奇数，??n?②an＝? ?a，a≥0，

?|a|＝n为偶数.??－a，a<0，??2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念

n①正分数指数幂：a＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)； m11

②负分数指数幂：a－＝m＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

n

annam③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ars(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的图象及性质

函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 01 ＋

mn

图象特征 定义域 值域 性质 单调性 函数值 变化 规律 在x轴上方，过定点(0，1) 当x逐渐增大时，图象逐渐下降 当x逐渐增大时，图象逐渐上升 R (0，＋∞) 减 当x＝0时，y＝1 当x<0时，y>1； 当x>0时，00时，y>1 增 4.指数函数的变化特征 在同一平面直角坐标系中，分别作出指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．

作出直线x＝1，分别与四个图象自上而下交于点A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，得到底数的大小关系是：a＞b＞1＞c＞d＞0.根据y轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) nn

(1)an＝(a)n＝a.( ) (2)(－1)＝(－1)＝－1.( ) (3)函数y＝ax是R上的增函数．( )

(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( ) (5)函数y＝2x

－1－

2412

是指数函数．( )

(6)若am0，且a≠1)，则m

4

1．(必修1P59A组T4改编)化简16x8y4(x<0，y<0)＝________．

1

1

1

1

解析：因为x<0，y<0，所以答案：－2x2y

4

16x8y4＝(16x8·y4)4＝(16)4·(x8)4·(y4)4＝2x2|y|＝－2x2y.

2．(必修1P55“思考”改编)函数y＝2x与y＝2x的图象关于________对称． 1?

解析：作出y＝2与y＝2＝??2?的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称．

x

－x

－

x

答案：y轴

3．(必修1P56例6改编)已知函数f(x)＝a的坐标为________．

x－2

＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则A

解析：令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)． 答案：(2，3) [易错纠偏]

n

(1)忽略n的范围导致式子an(a∈R)化简出错； (2)不能正确理解指数函数的概念致错； (3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况； (4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错． 1．计算（1＋

3

2）3＋

4

（1－2）4＝________．

34

解析：（1＋2）3＋（1－2）4＝(1＋2)＋(2－1)＝22. 答案：22

2．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________． 0

解析：由题意知?a≠1，即a＝2.

??a2－3＝1，答案：2

3．若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________． 解析：当a>1时，a＝2；当0

即a＝.

21

答案：2或

24．函数y＝2

1x－1

－

的值域为________．

1

解析：因为≠0，

x－1所以2

1x－1

>0且2

1x－1

≠1.

答案：(0，1)∪(1，＋∞)

指数幂的运算

化简下列各式：

3?01?－2－2??(1)?25?＋2·?24?－(0.01)0.5；

121－1?51－23?－(2)a·b·?－3a－2b?÷4a3·b32(a，b>0)． 6

1

()

1?11?4?112111162?【解】 (1)原式＝1＋×?9?－?100?2＝1＋×－＝1＋－＝.

4431061015

1251－32－(2)原式＝－a－b÷4a3·b3 26

()

51－3?15133

＝－a－b÷a3b－?＝－a－·b－

464222??515ab＝－·＝－.

44ab2ab3

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．

化简下列各式：

27?－3?7?0.5

?(1)(0.027)＋?125?－?29?； 1?－2（4ab1）3

?(2)?4?·1.

－1－

（0.1）·（a3·b3）2解：(1)原式＝0.32＋＝

9559＋－＝. 10033100

－1

23

1

1

－

?125?3－ ?27?

1

25 9

3

16ab－

282（4ab）

(2)原式＝＝3＝. 3

33522

10ab－10ab－

22

32

32

指数函数的图象及应用

(1)函数f(x)＝21x的大致图象为( )

－