河北省中考数学系统复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第17讲 全等三角形(8年真题训练)练习

第17讲 全等三角形

命题点 全等三角形的性质与判定

1．(2016·河北T21·9分)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.

(1)求证：△ABC≌△DEF；

(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．

解：(1)证明：∵BF＝EC，

∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF. 又∵AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF(SSS)． (2)AB∥DE，AC∥DF. 理由：∵△ABC≌△DEF，

∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE. ∴AB∥DE，AC∥DF.

2．(2014·河北T23·11分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD，CE交于点F.

(1)求证：△ABD≌△ACE； (2)求∠ACE的度数；

(3)求证：四边形ABFE是菱形．

解：(1)证明：由旋转性质，得∠BAC＝∠DAE＝40°，∠BAD＝∠CAE＝100°， 又∵AB＝AC，

∴AB＝AC＝AD＝AE. 在△ABD和△ACE中， AB＝AC，??

?∠BAD＝∠CAE， ??AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)．

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(2)∵∠CAE＝100°，AC＝AE，∴∠ACE＝(180°－∠CAE)＝×(180°－100°)＝40°.

22(3)证明：∵∠BAD＝∠CAE＝100°，AB＝AC＝AD＝AE，∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°.

∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝140°，

∴∠BFE＝360°－∠BAE－∠ABD－∠AEC＝140°. ∴∠BAE＝∠BFE.∴四边形ABFE是平行四边形． ∵AB＝AE，∴四边形ABFE是菱形．

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3．(2018·河北T23·9分)如图，∠A＝∠B＝50°，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接AP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN＝α.

(1)求证：△APM≌△BPN；

(2)当MN＝2BN时，求α的度数；

(3)若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．

解：(1)证明：∵P为AB中点， ∴AP＝BP.

在△APM和△BPN中， ∠A＝∠B，??

?AP＝BP，

??∠APM＝∠BPN，

∴△APM≌△BPN(ASA)．

(2)由(1)的结论可知：PM＝PN， ∴2PN＝MN.

又∵MN＝2BN，∴PN＝BN. ∴α＝∠B＝50°. (3)40°<α<90°.

重难点 全等三角形的性质与判定

某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB的交点，且AC＝BD，AB＝DC，嘉琪认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：

∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC， ∴△ABO≌△DCO.

你认为嘉琪的思考过程对吗？如果正确，指出她用的是判别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程．

【思路点拨】判定两个三角形是否满足全等条件“SAS”．

【自主解答】解：显然嘉琪的思路是不正确的，因为由已知条件不能直接得到这两个三角形全等．可考虑连接BC，由SSS可先得△ABC和△DCB全等，由全等三角形的性质，可得到∠A＝∠D，再根据∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，由AAS判断得到△ABO≌△DCO.

【变式1】 如图，已知AB＝CD，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DCB. 【思路点拨】 先判定△AEB≌△DEC，再判定△ABC≌△DCB.

证明：∵AB＝CD，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC， ∴△AEB≌△DEC(AAS)．

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∴BE＝CE，∠ABE＝∠DCE. ∴∠EBC＝∠ECB. ∴∠ABC＝∠DCB.

AB＝DC，??

在△ABC和△DCB中，?∠ABC＝∠DCB，

??BC＝CB，

∴△ABC≌△DCB(SAS)．

【变式2】 如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，OB＝OC，∠B＝∠C.求证：△ABE≌△ACD. 【思路点拨】先判定△DOB≌△EOC，再判定△ABE≌△ACD.

证明：在△OBD和△OCE中， ∠B＝∠C，??

?OB＝OC，

??∠DOB＝∠EOC，

∴△OBD≌△OCE(ASA)． ∴OD＝OE.∴BE＝CD. ∵∠A＝∠A，∠B＝∠C， ∴△ABE≌△ACD(AAS)．

【变式3】如图，已知AC，BD相交于点O，∠DBA＝∠CAB，∠1＝∠2.求证：∠CDA＝∠DCB. 【思路点拨】先判定△DAB≌△CBA，再判定△ADC≌△BCD，再由全等的性质得∠CDA＝∠DCB.

证明：∵∠DBA＝∠CAB，∠1＝∠2，AB＝BA， ∴△DAB≌△CBA(AAS)． ∴AC＝BD，AD＝BC.

∵CD＝DC，∴△ADC≌△BCD(SSS)． ∴∠CDA＝∠DCB.

【拓展】点D在△ABC的边BC上，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，BE＝CF，请你判断AD是不是△ABC的中线，如果是，请给出证明．

【思路点拨】由△BDE和△CDF全等，可得AD是△ABC的中线．

证明：∵∠CFD＝∠BED，CF＝BE，

又∵∠BDE＝∠CDF， ∴△BDE≌△CDF(AAS)． ∴BD＝DC.

∴AD是△ABC的中线．

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方法指导

1．要证三角形全等，至少要有一组边相等的条件，所以一般情况下，我们先找对应边相等． 2．在有一组对应边相等的前提下，找任意两组对应角相等即可；

在有两组对应边分别相等的前提下，可以找第三组对应边相等，或者找这两组对应边的夹角相等，注意必须是夹角；

若有三组对应边分别相等，则可以直接根据边边边求解．

3．题目可能隐含着条件(公共边或公共角)，再根据三角形全等的判定方法还需要寻找什么样的条件．探究证明思路时，往往用到执因寻果，执果寻因，两头碰等方法．

模型建立本例题大都含有基本图形“燕子图”，在条件给足的背景下，两个三角形是全等的，从图形变换条件，两个三角形关于过公共顶点的一条竖直直线对称．

归纳几何基本图形，然后对基本图形进行变式与拓展，是学习几何图形相关知识的重要手段．如： ①旋转模型

②三垂直模型,,③一线三等角模型,,易错提示)已知两边及一边对角对应相等的两个三角形，不全等，即“SSA”得不到两个三角形全等．

【变式训练1】(2018·安顺)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(D)

A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD

【变式训练2】(2018·恩施)如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O.求证：AD与BE互相平分．

证明：∵FB＝CE，∴FB＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF. ∵AB∥ED，∴∠ABC＝∠DEF. ∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE.

∠ABC＝∠DEF，??

在△ABC和△DEF中，?BC＝EF，

??∠ACB＝∠DFE，∴△ABC≌△DEF(ASA)．∴AC＝DF.

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