2017-2018学年高中数学人教A版必修四教学案：1.3 三角函数的诱导公式 Word版含答案正式版

∴tan?

2π1＋α?＝－3. ?3?

π3π3

4．若α∈?，?，tan(α－7π)＝－，则sin α＋cos α的值为( )

42??211

A．± B．－ 5517C. D．－ 55

解析：选B ∵tan(α－7π)＝tan(α－π)＝tan[－(π－α)]＝tan α， sin α33∴tan α＝－，∴＝－，

44cos απ3π

∵cos2α＋sin2α＝1，α∈?，?，

2??2

431

∴cos α＝－，sin α＝，∴sin α＋cos α＝－.

555

5．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 016)＝－1，则f(2 017)的值为________．

解析：∵f(2 016)＝asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)＝－1， ∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β) ＝asin[π＋(2 016π＋α)]＋bcos[π＋(2 016π＋β)] ＝－[asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)]＝1. 答案：1

??sin πx（x＜0），1111

－?＋f??的值为________． 6．已知f(x)＝?则f??6??6??f（x－1）－1（x＞0），?

1111π1?11??5?π?－1?－－?＝sin?－π?＝sin?－2π＋?＝sin＝；解析：因为f?f＝f－1＝f?6??6??6?62?6??6?6??π15

2＝sin?－?－2＝－－2＝－.

22?6?

1111

－?＋f??＝－2. 所以f??6??6?答案：－2 7．化简：解：原式＝

1＋2sin 280°·cos 440°

.

sin 260°＋cos 800°

1＋2sin（360°－80°）·cos（360°＋80°）

sin（180°＋80°）＋cos（720°＋80°）

＝

1－2sin 80°·cos 80°

－sin 80°＋cos 80°

sin280°＋cos280°－2sin 80°·cos 80°＝ －sin 80°＋cos 80°

（sin 80°－cos 80°）2＝ －sin 80°＋cos 80°＝＝

|cos 80°－sin 80°|

cos 80°－sin 80°sin 80°－cos 80°

＝－1.

cos 80°－sin 80°

1＋tan（θ＋720°）

8．已知＝3＋22，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ

1－tan（θ－360°）1

－π)]·2的值．

cos（－θ－2π）

1＋tan（θ＋720°）2＋22解：由＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22，所以tan θ＝

1－tan（θ－360°）4＋22＝2， 2

1

故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·2＝(cos2θ＋

cos（－θ－2π）1222?2?2

sin θcos θ＋2sinθ)·2＝1＋tan θ＋2tanθ＝1＋＋2×＝2＋.

22cosθ?2?

2

第2课时 诱导公式五、六

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P26～P27的内容，回答下列问题．

如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2.

(1)P2点的坐标是什么？ 提示：P2(y，x)．

π

(2)－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？ 2

ππ

提示：对称．sin?－α?＝cos_α，cos?－α?＝sin_α．

?2??2?2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六

(2)诱导公式的记忆

π

诱导公式一～六可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：

2①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的． π

②“奇”、“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的．

2

ππ

③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，

22二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．

[问题思考]

(1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．

B＋CA

(2)在△ABC中，角与角的三角函数值满足哪些等量关系？

22AπB＋C

提示：∵A＋B＋C＝π，∴＝－，

222B＋CπB＋C?A

∴sin＝sin?－＝cos，

222??2B＋CπB＋C?A

cos＝cos?－＝sin． 222??2

[课前反思]

(1)诱导公式五： ； (2)诱导公式六： ．

讲一讲

3π

sin（π－α）cos（2π－α）cos?－α＋?2??

1．已知f(α)＝.

π??cos－αsin(－π－α)?2?(1)化简f(α)；

3π1

(2)若α为第三象限角，且cos?α－?＝，求f(α)的值；

2?5?31π

(3)若α＝－，求f(α)的值．

3

sin αcos α(－sin α)

[尝试解答] (1)f(α)＝＝－cos α.

sin αsin α3π1

(2)∵cos?α－?＝－sin α＝，

52??1

∴sin α＝－，

5又∵α为第三象限角，

26

∴cos α＝－1－sin2α＝－，

5∴f(α)＝

26

. 5

31π?31π?(3)f?－＝－cos?－

3?3???

5ππ5π1

＝－cos?－6×2π＋?＝－cos＝－cos＝－.

3323??

三角函数式化简的方法和技巧

(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．

(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练