当前位置：首页 > 2020届江苏高考数学二轮复习微专题：以平面图形、空间图形为载体的应用题
微专题9 以平面图形、空间图形为载体的应用题
真 题 感 悟
(2018·江苏卷)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此
农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.
(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin θ的取值范围； (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
解 (1)如图，设PO的延长线交MN于点H，则PH⊥MN，所以OH＝10.
过O作OE⊥BC于点E，则OE∥MN，所以∠COE＝θ， 故OE＝40cos θ， EC＝40sin θ，
则矩形ABCD的面积为2×40cos θ(40sin θ＋10) ＝800(4sin θcos θ＋cos θ)，
1
△CDP的面积为2×2×40cos θ(40－40sin θ) ＝1 600(cos θ－sin θcos θ).
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，连接OG，则GK＝KN＝10.
π?1?0，令∠GOK＝θ0，则sin θ0＝4，θ0∈?6?. ??
π??
当θ∈?θ0，2?时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
??
?1?
所以sin θ的取值范围是?4，1?.
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答：矩形ABCD的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP的面积为 ?1?
1 600( cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ的取值范围是?4，1?.
??(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>0)， 则年总产值为4k×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝ π?π???
8 000k(sin θcos θ＋cos θ)，θ∈?θ0，2?.设f(θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈?θ0，2?，
????则f′(θ)＝cos2θ－sin2 θ－sin θ＝－(2sin2θ＋sin θ－1) π
＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1).令f′(θ)＝0，得θ＝6， π??
当θ∈?θ0，6?时，f′(θ)>0，所以f(θ)为增函数；
???ππ?当θ∈?6，2?时，f′(θ)<0，所以f(θ)为减函数，
??π
因此，当θ＝6时，f(θ)取到最大值.
π
答：当θ＝6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
考 点 整 合
1.(1)正弦定理
abc＝＝
sin Asin Bsin C＝2R(R为△ABC外接圆的半径). (2)余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 2.(1)仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).
(2)方向角
相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等. (3)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②). 3.柱、锥、台和球的表面积和体积
圆柱 圆锥 面积 S侧＝2πrh S侧＝πrl 体积 V＝Sh＝πr2h 1121222V＝3Sh＝3πrh＝3πrl－r 1V＝3(S上＋S下＋S上S下)h 12＝3π(r21＋r2＋r1r2)h V＝Sh 1V＝3Sh 1V＝3(S上＋S下＋S上S下)h 4V＝3πR3
热点一 以平面图形为载体的应用题
【例1】 甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ的方向，并以28海里/小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值(结果保留根号，无需求近似值).
解 设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，那么在△ABC中，AC＝28t，
圆台 S侧＝π(r1＋r2)l 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 S侧＝Ch 1S侧＝2Ch′ 1S侧＝2(C＋C′)h′ S球面＝4πR2 BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°， 由余弦定理，得
1(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×(－2)， 128t2－60t－27＝0， 39
解得t＝4或t＝－32(舍去)， 所以AC＝21(海里)，BC＝15(海里)， 根据正弦定理，得
BCsin∠ABC53
sin∠BAC＝＝14，
ACcos∠BAC＝
75111－142＝14. 又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角， 所以θ＝45°－∠BAC， sin θ＝sin(45°－∠BAC)
＝sin 45°cos∠BAC－cos 45°sin∠BAC 112－56＝.
28
112－563
∴经过4小时追上乙船，且sin θ的值为. 28
探究提高 运用正、余弦定理解决测量距离、高度、角度等问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角等概念的含义；
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.
【训练1】 (2019·南京、盐城高三二模)某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内切在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每
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