雄关漫道系列高考数学一轮总复习 3.4函数y=Asin(ωx+

课时作业18 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的

应用

一、选择题

π

1．(2014·湖州二模)将函数y＝sin2x＋cos2x的图象向左平移个单位长度，所得图象

4对应的函数解析式可以是( )

A．y＝cos2x＋sin2x C．y＝sin2x－cos2x

B．y＝cos2x－sin2x D．y＝sinxcosx

π?向左平移?2?x＋π?＋π?＝2?解析：y＝sin2x＋cos2x＝2sin?2x＋?π――→y＝2sin???4?4?4?个单位????4ππ?π???sin?2x＋＋?＝2cos?2x＋?＝cos2x－sin2x.

42?4???

答案：B

π2．(2014·福建卷)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，

2则下列说法正确的是( )

A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝f(x)的周期为π

π

C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

2

?π?D．y＝f(x)的图象关于点?－，0?对称 ?2?

π?π?解析：函数y＝sinx的图象向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sin?x＋?＝cosx2?2?π?π?的图象，f(x)＝cosx为偶函数，排除A；f(x)＝cosx的周期为2π，排除B；因为f??＝cos2?2?π

＝0，所以f(x)＝cosx不关于直线x＝对称，排除C；故选D.

2

答案：D

π??3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos?2x＋?，6??π??④y＝tan?2x－?中，最小正周期为π的所有函数为( )

4??

A．①②③ C．②④

B．①③④ D．①③

解析：①y＝cos|2x|，最小正周期为π；②y＝|cosx|，最小正周期为π；③y＝

π?π?π??cos?2x＋?，最小正周期为π；④y＝tan?2x－?，最小正周期为，所以最小正周期为6?4?2??π的所有函数为①②③，故选A.

答案：A

π??4．(2014·山东青岛一模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?A＞0，ω＞0，|φ|＜?的部分

2??图象如图所示，为了得到y＝sin2x的图象，只需将f(x)的图象( )

π

A．向右平移个单位长度

3π

B．向右平移个单位长度

6π

C．向左平移个单位长度

3π

D．向左平移个单位长度

6

解析：观察图象可知，A＝1，T＝π， ∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．

?π??π?将?－，0?代入上式得sin?－＋φ?＝0. ?6??3?

π?π?由已知得φ＝，故f(x)＝sin?2x＋?.

3?3?

π?π?由f(x)＝sin2?x＋?知，为了得到y＝sin2x的图象，只需将f(x)的图象向右平移个

6?6?单位长度．故选B.

答案：B

5．(2014·天津卷)已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)π

与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )

3

πA. 2

2πB. 3

C．π D．2π

π??解析：由题意得函数f(x)＝2sin?ωx＋?(ω＞0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交6??ππππ5π

点距离的最小值是，由正弦函数的图象知，ωx＋＝和ωx＋＝对应的x的值相

36666π2ππ2π

差，即＝，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T＝＝π. 33ω3ω答案：C

π?π?6．(2014·长春模拟)函数f(x)＝sin(2x＋φ)?|φ|＜?向左平移个单位后是奇函

2?6?

?π?数，则函数f(x)在?0，?上的最小值为( )

2??

A．－

3

2

1B．－

2D.3 2

1C. 2

π?π?解析：函数f(x)＝sin(2x＋φ)?|φ|＜?向左平移个单位后得到函数为2?6?

f?x＋?＝

6

??

π?

?

ππ??π????sin?2?x＋?＋φ?＝sin?2x＋＋φ?，因为此时函数为奇函数，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，

6?33?????所以φ＝－

πππ

＋kπ(k∈Z)．因为|φ|＜，所以当k＝0时，φ＝－，所以f(x)＝323

π?πππ2πππ?sin?2x－? .当0≤x≤时，－≤2x－≤，即当2x－＝－时，函数f(x)＝3?233333?π?3??π?sin?2x－?有最小值为sin?－?＝－. 3?2??3?

答案：A 二、填空题

7．(2014·陕西五校三模)函数y＝sinx(3sinx＋4cosx)(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对(M，T)为__________．

31－cos2x33解析：因为y＝sinx(3sinx＋4cosx)＝＋2sin2x＝2sin2x－cos2x＋≤ 22293

4＋＋＝4， 42

所以M＝4，T＝π，所以有序数对(M，T)为(4，π)． 答案：(4，π)

8．已知函数y＝g(x)的图象由f(x)＝sin2x的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ＝__________.

πππ

解析：函数f(x)＝sin2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x＝，所以x＝，关248π3π3π

于x＝对称的直线为x＝，由图象可知，通过向右平移之后，横坐标为x＝的点平移48817π17π3ππ到x＝，所以φ＝－＝.

242483

π答案：

3

?π?2

9．(2015·湖北武汉调研)已知函数f(x)＝3sin2x＋2cosx＋m在区间?0，?上的最大

2??

值为3，则：

(1)m＝__________；

(2)当f(x)在[a，b]上至少含20个零点时，b－a的最小值为__________． 解析：(1)f(x)＝3sin2x＋2cosx＋m ＝3sin2x＋1＋cos2x＋m π??＝2sin?2x＋?＋m＋1.

6??

πππ7π

因为0≤x≤，所以≤2x＋≤.

2666π?1?所以－≤sin?2x＋?≤1，

6?2?

2

f(x)max＝2＋m＋1＝3＋m＝3，

∴m＝0.

π?2π?(2)由(1)得f(x)＝2sin?2x＋?＋1，周期T＝＝π，在长为π的闭区间内有2个或

6?2?3个零点．

π??由2sin?2x＋?＋1＝0，

6??