2020届高三数学一轮复习教学案：排列、组合、二项式定理

C．28种 D．25种

解：C. 8步走10级，则其中有两步走两级，有6步走一级．一步走两级记为a，一步走一级记为b，所求转化为2个a和6个b排成一排，有多少种排法．故上楼的方法有C8＝28种；或用插排法．

例2. (1) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？

(2) 5名乒乓选手的球队中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有多少种？

244解：（1）分类：第一为甲丙都去，第二类不去共有C5A4?A6?600种

22112123（2）分类：第一类两名老队员都去，第二类去一名老队员共有C2C3C2C2?C2C3A3?48种

变式训练2：某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单，开演前又增加了三个新节目，如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是 （ ） A．504 B．210 C．336 D．120 解：A9＝504 故选A

例3. 已知直线ax+by+c=0中的系数a，b，c是从集合{-3，-2，-1，0，1，2，3}中取出的三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？

解：首先把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“a，b，c”的情况讨论。 设直线的倾斜角为?，并且?为锐角。 则tan?=－

3b＞0,不妨设a＞b,那么b＜0 a当c≠0时,则a有3种取法,b有3种取法,c有4种取法,并且其中任意两条直线不重合,所以这样的直线有3×3×4=36条

当c=0时, a有3种取法,b有3种取法, 其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以这样的直线有3×3-2=7条

故符合条件的直线有7+36=43条

变式训练3：将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有______种.

2122解：C53?3?A2?C5?3?C4?C2?150

例4. 从集合{1，2，3，……20}中任选3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？

解：a，b，c?N? a，b，c成等差数列?a?c?2b ?a,c要么同为奇数，要么同为偶数，故满足题设的等差数列共有A10＋A10＝180(个)

变式训练4：某赛季足球比赛中的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球 队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜负平的情况共有多少种？ 解：设该队胜负平的情况是：胜x场，负y场，则平15－(x＋y)场，依题意有：??3x?y?33?x?y?1522?x

≥9 。故有3种情况，即胜、负、平的场数是：9，0，6；10，2，3；11，4，0． 小结归纳 1．排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把

握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解.

2．排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题. 3．对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解.

第5课时 二项式定理 基础过关 nn

1．(a＋b)＝ (n∈N)，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)的二项展开式，其中的系数 叫做二项式系数．式中的 叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项公式Tr＋1＝ 是表示展开式的第r＋1项． 2．二项式定理中，二项式系数的性质有：

① 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：

0n1n?12n?2rn?rCn?Cn,Cn?Cn,Cn?Cn,L,Cn?Cn.

② 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，中间一项，即：

第 项的二项式系数最大，为 ；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，即第 项及每 项，它们的二项式系数最大，为 ③ 二项式系数的和等于—————————，即————————————

④ 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝ 即 ⑤ 展开式中相邻两项的二项式系数的比是： k?1kCn:Cn??n?k?:?k?1?

3．二项式定理主要有以下应用 ①近似计算

②解决有关整除或求余数问题

③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法”） 注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题 ④ 杨辉三角形 典型例题 53

例1. (1) （06湖南理11）若(ax－1)的展开式中x的系数是－80，则实数a的值是 ． (2) （06湖北文8）在(x?2

3

13x)24的展开式中，x的幂指数是整数的有 项．

6

2

(3) (1+x)+(1+x)+(1+x)+……+(1+x)展开式中x项的系数为 ． 解：（1）－2 （2）5项 （3）35 变式训练1：若多项式

x?x?a?a(x?1)???a(x?1)?a(x?1)21001910910, 则

a9?( )

A、9 B、10 C、－9 D、－10 解：根据左边

9x10的系数为1,易知

a10?1，左边x的系数为0,右边x的系数为

??10 故选D。

99a9?a10C10?a9?10?0,∴

m

an

9例2. 已知f(x)＝(1+x)+(1+x)，其中m、n∈N展开式中x的一次项系数为11，问m、n为

3

何值时，含x项的系数取得最小值？最小值是多少？

3311?Cn?n(n?1)(n?2)＋ 由题意Cm?Cn?11?m?n?11，则含x项的系数为Cm3

161m(m?1)(m?2) 6?19112313(27n2?297n?990)?(n?)2?，当n＝5或6时x系数取得最小值为30 6228变式训练2：分已知(2x2?ix)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为?3,其中14i??1,则展开式中常数项是( )

A、 －45i B、 45i C、 －45 D、45 解析： 第三项,第五项的系数分别为依据题意有：Cn4nC(?i)C(?i)

2n2,

4n4(?i)C(?i)224??3, 14整理得n?5n?50?0 即解方程(n－10)(n＋5)＝0 则只有n=10适合题意.由当 20?2r?故常数项为

2Tn?1?C10?x210r20?2r?x?(?i),

?r2rr?0 时,有r=8, 28810C(?i)?C2004=45 故选D

例3. 若(1?2x)?a0?a1x?a2x2?......?a2004x2004,x?R,求（a0?a1）（a0?a2）++……+（a0?a2004）

2004解：对于式子：(1?2x)令x=0，便得到：a0=1

?a0?a1x?a2x2?......?a2004x2004,x?R,

令x=1，得到a0?a1?a2?......?a2004=1

又原式：（a0?a1）+（a0?a2）+……+（a0?a2004）

=2004a0?(a1?a2?......?a2004)?2003a0?(a0?a1?a2?......?a2004) ∴原式：（a0?a1）+（a0?a2）+……+（a0?a2004）=2020 注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系. 变式训练3：若?2x?3?A．?1

3?a0?a1x?a2x2?a3x3，则?a0?a2?2??a1?a3?2的值是

（ ）

B．1

C．0 解：A

D．2

例4. 已知二项式(x?2n（n∈N*）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的 )，2x比是10：1，

（1）求展开式中各项的系数和

（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，

C∴C42n4?(?2)n?(?2)2?10，解得n=8 1令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)8=1

(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为

CCr?18?2n?r,C8?2r,C8?2r?1,

?2n?r≤C8?2r 并且C8?2r?1 ≤C8?2r，解得5≤r≤6；

11；二项式系数最大的项为T=1120 ?5611xxn

rr?1若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：

r?18rr?1r所以系数最大的项为T7=1792?变式训练4：①已知(x?13x2)的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是14:3，

求展开式中不含x的项.

23452

②求(x－1)－(x－1)＋(x－1)－(x－1)＋(x－1)的展开式中x项的系数.

1解：(1?)n?1?Cn1?2 nn11121(1?)n?1?Cn?Cn nnn2n(n?1)n1???Cn?1?1??

n22??n2n(n?1)(n?2)?2?1??

n??nn112???? 2?3?11111?2??2???n?1?3?n?1?3

22n?22n??Cnn1?1?Cn1n1121?Cn? nn2 小结归纳 1．注意(a＋b)及(a－b)展开式中，通项公式分别为Tr?1?Cnab及Tr?1???1?Cnab这里0?r?n且展开式都有n+1项，在使用时要注意两个公式的区别，求二项式的展开式中的指定项，要扣住通项公式来解决问题．

2．二项式的展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关．

3．应用二项式定理计算一个数的乘方的近似值时，应根据题设中对精确度的要求，决定展

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rn?rrrn?rrr