（人教版）2020版高考数学一轮复习 第八章 立体几何初步课时训练

第八章 立体几何初步

第1课时 空间点、直线、平面之间的位置关系

一、 填空题

1. 线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是____________．(用符号表示)

答案：AB?α

解析：由公理1可知AB?α.

2. 已知α∩β＝l，m? α，n? β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为________．

答案：P∈l

解析：因为α∩β＝l，m? α，n? β，m∩n＝P，所以P∈m，P∈n，P∈α，P∈β，所以P∈l.

3. 设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ① 若a∥b，b∥c，则a∥c； ② 若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

③ 若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ④ 若a∥b，b⊥c，则a⊥c.

上述命题中正确的是________．(填序号) 答案：①④

解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行或异面，故③错误；根据异面直线所成角的定义知④正确．

4. 若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是________．(填序号)

① l与l1，l2都不相交；② l与l1，l2都相交；③ l至多与l1，l2中的一条相交；④ l至少与l1，l2中的一条相交．

答案：④

解析：若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，这与l1和l2是异面直线相矛盾，所以l至少与l1，l2中的一条相交．故④正确．

5. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为B1O和C1O的中点，长方体的各棱中，与EF平行的有__________条．

答案：4 解析：∵ EF是△OB1C1的中位线，∴ EF∥B1C1.∵ B1C1∥BC∥AD∥A1D1，∴ 与EF平行的棱共有4条．

6. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的有________对．

答案：3

解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．

1

7. 已知ABCDA1B1C1D1是正方体，点O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论中错误的是________．(填序号)

① A，M，C1三点共线； ② M，O，A1，A四点共面； ③ A，O，C，M四点共面； ④ B，B1，O，M四点共面． 答案：①④

解析：作出图形，可知②③正确．

8. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．

答案：60°

解析：如图，取A1C1的中点E，连结B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，

3

设AB＝1，则AA1＝2，AB1＝3，B1E＝，故∠AB1E＝60°.

2

9. 如图，点G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)

答案：②④

解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．

10. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点M, N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断正确的是________．(填序号)

① MN与CC1垂直；② MN与AC垂直； ③ MN与BD平行；④ MN与A1B1平行．

答案：①②③

解析：连结B1C，B1D1，则MN是△B1CD1的中位线，

∴ MN∥B1D1.∵ CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴ MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD，故①②③

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正确．

∵ A1B1与B1D1相交，

∴ MN与A1B1不平行，因此④错误． 二、 解答题

11. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1

∩EF＝Q.

(1) 求证：D，B，E，F四点共面；

(2) 作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．

(1) 证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D，B，F，E四点共面(设为α)．

(2) 解：由于AA1∥CC1，所以A1，A，C，C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD?α，故P∈α.

又P∈AC，而AC?β，所以P∈β，

所以P∈α∩β，同理可证得Q∈α∩β，所以有α∩β＝PQ. 因为A1C?β，

所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点，连结A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点．

12. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别为A1A ，C1C的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．

证明：如图，取B1B的中点G，连结GC1，EG， ∵ GB∥C1F，且GB＝C1F，

∴ 四边形C1FBG是平行四边形，

∴ FB∥C1G，且FB＝C1G. ∵ D1C1∥EG，且D1C1＝EG，

∴ 四边形D1C1GE为平行四边形， ∴ GC1∥D1E，且GC1＝D1E， ∴ FB∥D1E，且FB＝D1E，

∴ 四边形EBFD1为平行四边形．

∵ FB＝FD1，∴ 四边形EBFD1是菱形．

3

13. 已知空间四面体ABCD，点E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，11

且CG＝BC，CH＝DC.求证：

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(1) E，F，G，H四点共面；

(2) 三条直线FH，EG，AC共点．

证明：(1) 如图，连结EF，GH. ∵ 点E，F分别是AB，AD的中点， ∴ EF∥BD.

11

∵ CG＝BC，CH＝DC，

33

∴ GH∥BD，∴ EF∥GH， ∴ E，F，G，H四点共面．

(2) 易知FH与直线AC不平行，但共面， ∴ 设FH∩AC＝M，

∴ M∈平面EFHG，M∈平面ABC. ∵ 平面EFHG∩平面ABC＝EG，

∴ M∈EG，∴ 直线FH，EG，AC共点．第2课时 直线与平面的位置关系(1) 一、 填空题

1. 直线a，b为异面直线，关于过直线a 且与直线b平行的平面的情况，下列说法正确的是________．(填序号)

① 有且只有一个；② 有无数多个；③ 至多一个；④ 不存在． 答案：①

解析：在直线a上任选一点A，过点A作b′∥b，则b′是唯一的，又a∩b′＝A，所以a与b′确定一平面并且只有一个平面，故①正确．

2. 对于不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：

n∥α?m∥n???

???n∥β； ① ?m∥n；② ?m?α?m∥β??m?α?n∥β?????m，n不共面；④ ??m∥n. ③

??n?β?m∥α?

其中假命题的个数是__________． 答案：4

解析：①中m与n可能平行，也可能异面；②中可能n?β；③中可能m∥n或m与n相交；④中不知道α与β的位置，无法判断m与n的位置关系．故四个命题都不正确．

3. 若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是________．(填序号) ① α内的所有直线都与直线l异面；② α内不存在与l平行的直线；③ α内的直线与l都相交；④ 直线l与平面α有公共点．

答案：④

解析：直线l与平面α不平行，则直线l与平面α有如下关系：l?α或l∩α＝A，

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