高一数学A版必修二《平面》第二章2.3-2.3.2平面与平面垂直的判定 同步练习含答案

所以面A1CD1⊥面C1BD.

10．如图所示，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点．

(1)证明SO⊥平面ABC； (2)求二面角A-SC-B的余弦值．

(1)证明：如图所示，由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA. 连接OA，△ABC为等腰直角三角形， 所以OA＝OB＝OC＝

2

SA，且AO⊥BC. 2

又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC， 且SO＝

2SA. 2

从而OA2＋SO2＝SA2，

所以△SOA为直角三边形，SO⊥AO. 又AO∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC. (2)解：取SC的中点M，连接AM，OM.

由(1)知SO＝OC，SA＝AC，得OM⊥SC，AM⊥SC. 所以∠OMA为二面角A-SC-B的平面角． 由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC＝O，

得AO⊥平面SBC.

所以AO⊥OM.

32

又AM＝SA，AO＝SA，

22故sin∠AMO＝

26AO

＝＝. AM33

3

. 3

所以二面角A-SC-B的余弦值为

B级 能力提升

1．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有( ) A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC

解析：因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面DBC.

又因为AD?平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC. 答案：D

2．矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝

43

，则二面角A-BD-P的度数为________．

5

解析：过点A作AE⊥BD，连接PE，则∠AEP为所求角． 因为由AB＝3，AD＝4知BD＝5， 又AB·AD＝BD·AE， 12所以AE＝. 5

4353

所以tan∠AEP＝＝.所以∠AEP＝30°.

1235答案：30°

3．(2015·课标全国Ⅰ卷节选)如图所示，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

证明：平面AEC⊥平面AFC.

证明：连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF. 在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝3.

由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC. 又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC. 在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝6在Rt△FDG中，可得FG＝.

2

在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝32＝.

2

从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG. 又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.

2

，可得EF2

2. 2

因为EG?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.