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从而2?2列联表如下：

走读生 住宿生 总计 将2?2列联表中的数据代入公式计算，得 n(n11n22-n12n21)100×(30×10-45×15)100K== =≈3.030

n1+n2+n+1n+275×25×45×5533

2

2

2

利用时间充分 30 45 75 利用时间不充分 总计 15 45 10 25 55 100 因为3.030<3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关……12分

20.（本小题满分13分）

x2y2?a2?b2?7，解：（I）双曲线2?2?1的焦距2c?27，则c?7，①…………

ab1分

渐近线方程y??b3bx，由题知tan???，

a2a②…………………………………………2分

由①②解得a?4,b?3，∴椭圆E的方程为

22x2y2??1.………………………………4分 43

设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，则

?8km4m2?12x1?x2?,x1x2?.……………………………6分 223?4k3?4k又A??2,0?，由题知kAP?kAQ?则

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y1y1?2??， x1?2x2?24优质文档

?x1?2??x2?2??4y1y2?0,且x1,x2??2，………………………………………………7分

则x1?x2?2?x1?x2??4?4?kx1?m??kx2?m? =1?4kx1?x2??2?4km??x1?x2??4m?4

22???1?4k??4m =

22?123?4k2???2?4km??8km?4m3?4k22?4?0.

则

m2?km?2k2?0.…………………………………………………………………………9分

∴?m?2k??m?k??0,?m?2k或m??k.………………………………………………10分

当m?2k时，直线PQ的方程为y?kx?2k?k?x?2?， 此时直线PQ过点??2,0?，显然不适合题意.

当m??k时，直线PQ的方程为y?kx?k?k?x?1?，此时直线PQ过点?1,0?. …………………………………………………………………………………………………12分

当直线PQ的斜率不存在时，若直线PQ过点?1,0?，P、Q点的坐标分别是

1?3??3??1,?,?1,??，满足kAP?kAQ??，

4?2??2?综上，直线PQ恒过点?1,0?.…………………………………………………………………13分 21【解析】

（1）定义域为(0,??)

1?1?lnx x1111令f?(x)?0则lnx??1?ln∴x?；令f?(x)?0则lnx??1?ln∴0?x?

eeee11∴f(x)的单调增区间是(,??)，单调减区间是(0,)

eef?(x)?lnx?x?优质文档

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1111f(x)极小值?f()?ln??， f(x)无极大值

eeee（2）证明：不妨设x1?x2，

kAB?f?(xlnx2?x1lnx1x?xx1?x2?ln12?1 )?2x2?x122x2lnx2?x1lnx1?x2lnx2lnx1?x2x?x?x1ln12?x2?x1 222x22x1?x1ln?x2?x1

x1?x2x1?x2x2xx1x2两边同除以x1得，2ln?ln?2?1

x2x1x11?x21?1x1x12?令

2t2x2?ln?t?1 ?t，则t?1，即证：tln1?t1?tx1令g(t)?tln2t2?ln?t?1 1?t1?tg?(t)?ln令

2t1?t21?t22t1?tt?1t?1?t?????1 ?ln??ln(1?)?1?t2t(1?t)22(1?t)21?t1?tt?1t?1t?1?x(x?0)，h(x)?ln(1?x)?x t?11?xh?(x)??1??0，h(x)在(0,??)上单调递减，所以h(x)?h(0)?0

1?x1?xt?1t?1即ln(1?x)?x，即g?(t)?ln(1?)??0恒成立

t?1t?1∴g(t)在(1,??)上是减函数，所以g(t)?g(1)?0

2t2?ln?t?1得证 1?t1?tx?x2所以kAB?f?(1)成立

2∴tln22.【解析】：

（1）证明：连结DB，∵AB是圆O的直径，

ADOCBH∴?ADB?90，

FEo在

Rt?ABD和

Rt?AFGG中，

?ABD??AFE

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又∵?ABD??ACD∴?ACD??AFE ∴C,D,E,F四点共圆。

（2）∵C,D,E,F四点共圆，∴GE?GF?GC?GD

∵GH是圆O的切线，∴GH2?GC?GD∴GH2?GE?GF 又因为GH?6,GE?4∴GF?9 ∴EF?GF?GE?5

23.【解析】：（1）因为圆C的极坐标方程为??4sin(??)

6所以??4?sin(??2222??6)?4?(31sin??cos?) 22又??x?y,x??cos?,y??sin? 所以x?y?23y?2x

所以圆C的普通方程x?y?2x?23y?0…………5分 （2）『解法1』： 设z?22223x?y

22由圆C的方程x?y?2x?23y?0?(x?1)2?(y?3)2?4 所以圆C的圆心是(?1,3)，半径是2 ?3x??1?t??2代入z?将??y?3?1t??23x?y得z??t

又直线l过C(?1,3)，圆C的半径是2，所以?2?t?2 所以?2??t?2

即3x?y的取值范围是[?2,2] 『解法2』：

直线l的参数方程化成普通方程为：x?3y?2…………6分

??x?3y?2由?，

22??(x?1)?(y?3)?4优质文档