多元函数的极值及其应用

多元函数的极值与最值及其应用

在管理科学、经济学、以及许多工程与科技问题中，常常需要研究函数的最大值与最小值问题，它们统称最值问题.需要求最值的函数为目标函数，该函数的自变量为决策变量，相应的问题为优化问题.

一、一般方法求极值和最值

实际问题中求最大值和最小值

1.制作一定体积的物体，求用料最少。

例 用铁皮制作有盖长方体水箱，且其长、宽、高分别为x,y,z.若体积 V?2时,怎样用料最省? 解: 用料 S?2(xy?yz?zx)?2(xy?22?), 其中x,y?0. xy2?S?2(y?)?0,x2??x?3223x?z??2. 令 ? 同时 ??32xyy?2??Sy?2(x?2)?0. y??据实际情况可知, 长、宽、高均为32时, 用料最省.

2.施工时对于建筑材料使用的最小值 例 一水渠的横断面是面积 为S的等腰梯形，问应该如何 选取岸边的倾斜角?与高度h， 可以使得湿周L最小？（湿周 为横断面上与水接触的各边总长. 一般地： 湿周越小，所需建材与 修筑工作量越少）

解 设梯形下底的长为a，则横断面面积

S?h?cot? h2hS2h????h?cot?(h?0,0???) 湿周L?a?sin?hsin?2S?(a?h?cot?)h?a?1

1?2cos??L?h?0?2???sin????,h?由?3?L??S?2?cos??0h?h2sin??故当??S， 43S时， 433S2h??h?cot?(h?0,0???)达到最小值Lmin. 函数L??hsin?2,h?3.生产利润的最大值

例 某工厂生产A,B两种型号的产品，A型产品的售价为1000元/

?B型产品的售价为900元/件，件，生产A型产品x件和B型产品y件的总成本为

C(x,y)?40000?200x?300y?3x2?xy?3y2元，求A,B两种

产品各生产多少件时，利润最大？

解：设L(x,y)为生产A型产品x件和B型产品y件时的总利润，则 L(x,y)＝R(x,y)?C(x,y)

??3x2?xy?3y2?800x?600y?40000，

??x?120?Lx(x,y)??6x?y?800?0??由?，

L(x,y)??x?6y?600?0??y?80?y又有

A?Lxx(120,80)??6?0,B?Lxy(120,80)??1,C?Lyy(120,80)??6?AC?B2?35?0 故函数L(x,y)在点(120,80)取得最大值，且Lmax(x,y)?L(120,80)?32000（元）.

4.求一定区域内函数的最值

例 求函数z?1?x?2y在D??(x,y)|x?0,y?0,x?y?1}上的最大值与最小值.

解 在区域?(x,y)|x?0,y?0,x?y?1}内，由于

zx?1?0,zy?2?0所以在区域的内部函数无极值点；

在边界上：

2

在x?0(0?y?1)上，z?1?2y，所以有zmax?3；zmin?1. 在y?0(0?x?1)上，z?1?x，所以有zmax?2；zmin?1. 在x?y?1(0?y?1)上，z?2?y，所以有zmax?3；zmin?2. 综上所述：函数在区域D上的最大值为zmax?3；

最小值为zmin?2.

22例 求函数f(x,y)?xy1?x?y在D??(x,y)|x?0,y?0,x2?y2?1}上的最大值与最小值.

22解 在区域(x,y)|x?0,y?0,x?y?1}内，由

??x2y22?0?fx(x,y)?y1?x?y?221?x?y? ?2xy?f(x,y)?x1?x2?y2??022?y1?x?y?3333 ?x?y??f(,)?333933P(,)为区域内的惟一驻点；

332222在边界x?0,y?0,x?y?1上：f(x,y)?xy1?x?y＝0；

综上所述：函数的最大值为 fmax?f(最小值为 fmin?0.

333,)?； 339例 函数z?x?y在x?4y?4上的最大值与最小值.

2222?zx?2x?0解：在区域x?4y?4内：由?， ?驻点为P（0，0）z??2y?0?y22但由于zxx?2?0,zyy??2?0，所以在x?4y?4内无极值点.

22在边界x?4y?4上：z?x?y?4?5y(?1?y?1)

222223

?x??2由zy??10y?0?y?0??为极值点，

y?0?由z|y?0?4,z|y??1??1知

边界上的最大值为z|y?0?4，最小值为z|y??1??1. 综上所述：函数z?x2?y2在x2?4y2?4上的

最大值为 zmax?z|y?0?4；最小值为 zmin?z|y??1??1. 二、条件极值拉格朗日乘数法

1.条件极值：对自变量有附加条件?(P)?0时f(P)的极值． 2.f(P)在P0(x0,y0)点取得条件极值的必要条件:

?fx(P0)???x(P0)?0,??fy(P0)???y(P0)?0,其中?为某一常数. ??(P)?0. 0?

3.拉格朗日乘数法

(1) 构造辅助函数（拉各朗日函数）F(P)?f(P)???(P)，

其中?称为拉各朗日乘子；

??Fxi(P)?fxi(P)???xi(P)?0,(2) 解方程组 ???F?(P)??(P)?0. (i?1,2?n)

(3)由上方程解出P,?，其中P就是可能的极值点的坐标.

(4)根据实际情况确定极值. 例题

1.曲线上的点到直线的最小距离

例.求抛物线y?4x上的点,使它与直线x?y?4?0相距最近. 解 设抛物线y?4x上的点(x,y)到直线x?y?4?0的距离为

22d?x?y?412?(?1)2?1x?y?4 22222问题可化为求函数z?(x?y?4)在条件y?4x下的最小值点. 令拉格朗日函数为 F(x,y)?(x?y?4)??(y?4x)

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