高中数学新题型选编（共70个题）（一）

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???6??666??x???2,?a???a,2?x???a,3??33??时，f?x?单调递减；?3故猜测：

单调递增。

（3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可。 如

对

?a??时，f?x?x??4k?2,4k?2?,k?N，

x?4k???2,2?，此时

g?x??g?x?4k??f?x?4k?，

g?x??a2?x?4k??1?x?4k?3,x??4k?2,4k?2?,k?N2 。

2 即

22??fx?ax?24?2b?bx，g?x???1??x?a?，?a,b?R? （文）已知函数

（Ⅰ）当b?0时，若f?x?在?2,???上单调递增，求a的取值范围； （Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对?a,b?：当a是整数时，存在最大值，

x0，使得f?x0?是f?x?的

g?x0?是g?x?的最小值；

（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对?a,b?，试构造一个定义在D??x|x??2，且

x?2k?2,k?N?上的函数h?x?，使当x???2,0?时，h?x??f?x?，当x?D时，h?x?取

得最大值的自变量的值构成以

x0为首项的等差数列。

2??fx?ax?4x， b?0解：（Ⅰ）当时，

若a?0，f?x???4x，则f?x?在?2,???上单调递减，不符题意。

?0??a?4?2?故a?0，要使f?x?在?2,???上单调递增，必须满足?2a ，∴a?1 。

2??fx??24?2b?bx，则f?x?无最大值，故a?0，∴f?x?为二次a?0（Ⅱ）若，

函数，

a?0??24?2b?b?0，即a?0且1?5?b?1?5， ??fx?要使有最大值，必须满足

4?2b?b2x?x0?a此时，时，f?x?有最大值。

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x?x0?a，依题意，有

又g?x?取最小值时，

a2?4?2b?b2?5??b?1?24?2b?b2?a?Za，则

，

20?a?5?a?Z?，1?5?b?1?5a?0∵且，∴得a??1，此时b??1或b?3。

∴满足条件的实数对?a,b?是??1,?1?,??1,3?。

2??????a,b?1,?1,?1,3??fx??x?2x （Ⅲ）当实数对是时，

依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。 如对x??2k?2,2k?，k?N,x?2k???2,0?，

此时，h?x??h?x?2k??f?x?2k????x?2k??2?x?2k?，

2故h?x????x?2k??2?x?2k?,x??2k?2,2k?,k?N。

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