高中数学新题型选编（共70个题）（一）

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??3,n?1?cn??41?,n?2??2n?5解法二：由题设，

n?2时

，

令

cn?cn?1?0?2n?92n?73579??0??n?或?n??n?2或n?42n?52n?32222；

又∵c1??3,c2?5，∴n?1时也有c1?c2?0。 综上得 数列

?cn?共有3个变号数，即变号数为3。

30、在R上定义运算△：x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x恒成立，则实

13(?,)数a的取值范围是22 。

x2y2?2?1?b?0?x、y4b31、已知之间满足

1??x2y23，?2?1?b?0???2??，求b的值 4b（1）方程表示的曲线经过一点

x2y2?2?14b（2）动点(x,y)在曲线(b>0)上变化，求x2+2y的最大值；

x2y2?2?1?b?0?y?f?x?（3）由4b能否确定一个函数关系式，如能，求解析式；如不能，

再加什么条件就可使x、y之间建立函数关系，并求出解析式。

31?2?1?b?0??b?14b解：（1）4 （4分）

2?y2?2x2y2?2?1?b?0?x?4?1?b2??? （5分） （2）根据4b得

?y2?4?b2?b2?x?2y?4?1?2??2y??2?y????4??b?y?b?b?4?4?b? （7分）

22

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b2当?b时，即b?4时?x2?2y??2b?4max4b2b22当?b时，即0?b?4时?x?2y???4max44??x2?2y??2b?4，?b?4????b2?0?b?4???4，?4 （10分）

max（2）不能 （11分） 如再加条件xy?0就可使x、y之间建立函数关系 （12分）

?x2??1?2，?x?0?b?y??x2??1?b2，?x?0??解析式 （14分）

（不唯一，也可其它答案）

32、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使

1k?N*得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的k。已知一个铁钉受击3次后全部进

??4入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的7，请从这个实事中提炼出一

?44??1??77k??4?4?4?12?77k7k?个不等式组是 。

33、已知

P??x1?x?9,x?N?，记f?a,b,c,d??ab?cd，（其中a,b,c,d?P），例如：

f?1,2,3,4??

?1?2?3?4??10。设u,v,x,y?P，且满足f?u,v,x,y??39和f?u,y,x,v??66，则有序数组?u,v,x,y?

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???u?x??y?v??27?u?x?9,y?v?3???????????u?xy?v?105?u?x?7,y?v?15???8,6,1,9??? 是 。

cy?xP34、（12′=9′+3′）（理）设表示幂函数

2?5c?6在?0,???上是增函数的c的集合；

Q表示不等式 x?1?x?2c?1对任意x?R恒成立的c的集合。（1）求P?Q；（2）

试写出一个解集为P?Q的不等式。

cy?xP（文）设表示幂函数

2?6c?8在?0,???上是增函数的c的集合；Q表示不等式

x?1?x?4?c对任意x?R恒成立的c的集合。（1）求P?Q；（2）试写出一个解集为

P?Q的不等式。

cy?x解：（理）（1）∵幂函数

2?5c?62在?0,???上是增函数，∴c?5c?6?0，即

P????,2???3,???，

又不等式

x?1?x?2c?12c?1?1对任意x?R恒成立，∴，即

Q????,0???1,???，

∴P?Q????,0???1,2???3,??? 。

（2）一个解集为P?Q的不等式可以是 x?x?1??x?2??x?3??0 。 （文）（1）∵幂函数y?xc2?6c?82在?0,???上是增函数，∴c?6c?8?0，即

P????,2???4,???，

又不等式

x?1?x?4?c对任意x?R恒成立，∴c?3，即

Q????,3?，

∴P?Q????,3???4,??? 。

x?3?0P?Q （2）一个解集为的不等式可以是 x?4 。

35、（理）已知

f?x??a2x?13x,x???2,2?,a2为正常数。

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a?b?ab?b?R2a （1）可以证明：定理“若、，则（当且仅当a?b时取等号）”

推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；

（2）若f?x??0在?0,2?上恒成立，且函数f?x?的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测y?f?x?的单调性（无需证明）；

（3）对满足（2）的条件的一个常数a，设x?x1时，f?x?取得最大值。试构造一个定义在

D??xx??2,且x?4k?2,k?N?上的函数g?x?，使当x???2,2?时，

g?x??f?x?，当x?D时，g?x?取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数列。

a?b?c3?abc?bc?R3a解：（1）若、、，则（当且仅当a?b?c时取等号）。

f?x??a2x? （2）恒成立，

131??1x?x?a2?x2??0a2?x222??2在?0,2?上在?0,2?上恒成立，即

12x??0,2?22∵，∴a?2，即a?2，

又∵

3?f?x??2?2?212??212??x??a?x???a?x??23??1??1?2a?2??2??????x2?a2?x2??a2?x2???????2??2??3???3?????∴

126xx?a2，即3时，

3x2?a2?fmax263936?6?6??a??a?1?a3?????2?94226??， x?6a3??0,2?，∴a?0,6。 综上，得a?又∵

???2,6 。

? 易知，f?x?是奇函数，∵值。

x?66ax??a3时，函数有最大值，∴3时，函数有最小

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