高中数学新题型选编（共70个题）（一）

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n?1nn?f(x)?2(x?a)?(x?a),(x?[0,??),n?N)求函数f(x)的最小值; 1、（Ⅰ）已知函数：

an?bna?bn?()(a?0,b?0,n?N?)2（Ⅱ）证明:2；www.7caiedu.cn

nna1n?a2?a3???akna?a?a???akn?(123)a,a,a?akk123k（Ⅲ）定理:若 均为正数,则有 成立

?k?2,k?N,k为常数)．请你构造一个函数g(x)，证明： (其中

nnna1n?a2?a3???aka?a2?a3???ak?1n?1?(1)a,a,a,?,a,ak?1k?1kk?1均为正数时，当123

n?1n?1n?1n?1n?1f'(x)?2nx?n(a?x)?0(2x)?(a?x)?2x?a?x?x?a…2分 解：（Ⅰ）令得

当0?x?a时，2x?x?a ?f'(x)?0 故f(x)在[0,a]上递减．

当x?a,f'(x)?0故f(x)在(a,??)上递增．所以，当x?a时，f(x)的最小值为f(a)?0.….4分

n?1nnnf(b)?f(a)?0f(b)?2(a?b)?(a?b)?0 b?0（Ⅱ）由，有 即

an?bna?bn?()(a?0,b?0,n?N?)22故 ．………………………………………5分

nnna1n?a2?a3???aka?a2?a3???ak?1n?1?(1)k?1k?1（Ⅲ）证明:要证：

n?1nnnnn(k?1)(a?a?a???a)?(a?a?a???a)123k?1123k?1只要证：

n?1nnnnn 设g(x)?(k?1)(a1?a2?a3???x)?(a1?a2?a3???x)…………………7分 n?1n?1n?1g'(x)?(k?1)?nx?n(a?a???a?x)12k则

令g'(x)?0得

x?a1?a2???akk…………………………………………………….8分

a1?a2???akn?1n?1g'(x)?n[(kx?x]?n(a?a???a?x)0?x?12kk当时，

n?1n?1?n(a1?a2???ak?x)?n(a1?a2???ak?x)?0

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故

g(x)在[0,a1?a2???aka?a???ak]g(x)在(12,??)kk上递减，类似地可证递增

所以

当x?a1?a2???aka?a???ak时，g(x)g(12)kk的最小值为………………10分

a1?a2???aka?a???akna?a???akn)?(k?1)n?1[a1n?a2n???akn?(12)]?(a1?a2???ak?12)kkk而 g((k?1)n?1nnnn[k(a1?a2???ak)?(a1?a2???ak)n?(k?1)(a1?a2???ak)n]nk= (k?1)n?1nnn(k?1)n?1n?1nnnn[k(a1?a2???ak)?k(a1?a2???ak)][k(a1?a2???akn)?(a1?a2???ak)n]nn?1=k=k

由定理知: kn?1(a?a???a)?(a1?a2???ak)?0 故

n1n2nkng(a1?a2???ak)?0k

?ak?1?[0,??)?g(ak?1)?g(a1?a2???ak)?0k

n?1nnnnn(k?1)(a?a?a???a)?(a?a?a???a)123k?1123k?1故

nnna1n?a2?a3???aka?a2?a3???ak?1n?1?(1)k?1k?1即: .…………………………..14分

2、用类比推理的方法填表 等差数列?an?中 等比数列?bn?中 a3＝a2?d a3?a4?a2?a5 a1?a2?a3?a4?a5?5a3 b3?b2?q b3?b4?b2?b5 5b?b2?b3?b4?b5?b3

答案：1

3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质： （i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于

A．n B．n+1 C．n -1 D．n 答案：D

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2f(n)n?1(n?N*)的各位数字之和，如：142?1?197，1?9?7?17，则4、若为

f(14)?17;记f1(n)?f(n),f2(n)?f(f1(n)),?,fk?1(n)?f(fk(n)),k?N*,则f2008(8)?____

答案：5

5、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。

a a a 2aa a

a a a a a

（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；

（2）若SA?面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小； （3）求点D到面SEC的距离。

（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）??????3分

证明：?SA?AB,SA?AD,且AB、AD是面ABCD内的交线?SA?底面

S ABCD????????5分

（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA， 则GF//EA,GF=EA,?AF//EG

F 而由SA?面ABCD得SA?CD，

G 又AD?CD，?CD?面SAD，?CD?AF

A 又SA=AD,F是中点，?AF?SD

?AF?面SCD,EG?面SCD,?面SEC?面SCD 所以二面角E-SC-D的大小为90????10分

(3)作DH?SC于H，

?2aD H C E B

? 面SEC?面SCD,?DH?面SEC,

?DH之长即为点D到面SEC的距离，12分 DH?SD?DC?SC?在Rt?SCD中，

2a?a?6a3 3a七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

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6a3答：点D到面SEC的距离为?????????14分

6、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列数依次输入A口，从B口得到输出的数列

?n?(n?1)中的各

?an?，结果表明：①从A口输入n?1时，从B

口得

a1?13；②当n?2时，从A口输入n，从B口得到的结果an是将前一结果an?1先乘

以自然数列

?n?中的第n?1个奇数，再除以自然数列?an?中的第n?1个奇数。试问：

从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？

从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。

解（1）

a2?a1?1?5?11a3?a2?3?7?15 35

an? （2）先用累乖法得

1(n?N*)(2n?1)(2n?1)

a100?得

11?(2?100?1)(2?100?1)39999

7、在△ABC中，B(?2,0),C(2,0),A(x,y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程： 条件 ①△ABC周长为10 ②△ABC面积为10 方程 C1：y2?25 C2：x2?y2?4(y?0) x2y2??1(y?0)C3：95 ③△ABC中，∠A=90° 则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为 （用代号C1、C2、答案：

C3填入）

C3C1C2

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