2019-2020年高考数学一轮复习专题6.1数列的概念与简单表示法讲

即= 整理得：=使之满足= ∴p=1 即是首项为=2，q=2的等比数列∴= =.

【3-4】在数列中，=1， (n=2、3、4……) ，则数列的通项公式 . 【答案】 (). 【解析】∵

?? a3?a2?2?? a4?a3?3 ?这n-1个等式累加得：an?a1?1?2?...?= （n-1）? ....... ? an?an?1?n?1??n?2时,a2?a1?1n(n?1)n2?n?2 故an? 且也满足该式 ∴ (). ?a1?22【3-5】已知数列满足则数列的通项公式 . 【答案】

综合点评：这些题都是由递推公式推导通项公式，由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法” 、“构造等比数列” 、“迭代”等方法． 【方法规律技巧】

1. 数列的递推关系是相邻项之间的关系，高考对递推关系的考查不多，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究．在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量来求解．

2. 由递推公式推导通项公式

（1）对于型，求，迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法），由已知关系式得，给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项.

也可用迭代，即用an?a1?(an?an?1)?(an?1?an?2)?L?(a2?a1)的方法.

（2）对于型，求，迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法），由已知关系式得，给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项. 也可用迭代，即用an?a1?aa2a3??L?n的方法. a1a2an?1（3）对于型，求，一般可以利用待定系数法构造等比数列，其公比为注意数列的首项为，不是对新数列的首项要弄准确.

(4)形如的递推数列可以用倒数法求通项． 【新题变式探究】

【变式一】已知数列满足,(),则取得最小值的的值为_____. 【答案】7

【变式二】已知，若f1(x)?f(x),fn?1(x)?f(fn(x)),n?N?，则的表达式为________. 【答案】 【解析】f(x)?，?xx?1?11，，，，，即，当且仅当时取等号，当时，，当时， ??1?1?x1?x1?x1?fn(x)11???1，即

fn?1(x)fn(x)fn(x)数列是以为首项，以1为公差的等差数列

?1111?nx，，当时，，，. ??(n?1)?1??(n?1)?1?xfn(x)f1(x)x1?x【综合点评】这两个题都是由由递推关系式求数列的通项公式，第一题与不等式结合，第二题与函数结合，第一题首先由叠乘法求出通项公式，然后代入有基本不等式可得，第二题由函数的性质找出递推关系，从而找出，即可得出的表达式. 考点4 数列的性质的应用

【题组全面展示】

【4-1】已知，则数列的最大项是_______．

【答案】

【解析】是关于的二次函数. 【4-2】设函数f(x)??围为_______． 【答案】(2,3)

?(3?a)x?3,x?7?ax?6,x?7，数列满足,且数列为递增数列,则实数a的取值范

【4-3】在数列中，前项和为，，则当最小时，的值为_______． 【答案】6

【解析】令，得，故当时，；当时，，故当时，最小.

【4-4】若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为_______． 【答案】7

*

【4-5】已知数列的首项，其前项和为，且满足.若对任意的，恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】

试题分析：由条件得，两式相减得，故，两式再相减得，由得， ，从而；得

?a?12?2a?a1?a2?a3?a1?a2?27，，从而，由条件得?6n?6?2a?6n?3?2a，解之得.

?6n?3?2a?6(n?1)?6?2a?综合点评：这些题都是数列的函数特征的应用，做这一类题，一是利用函数的性质，同时注意数列的性质，抓住试题的关键，灵活应用. 【方法规律技巧】 1.数列中项的最值的求法

数列中或的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列或的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值．要注意的细节是只能取正整数． 数列中最大项和最小项的求法 求最大项的方法：设为最大项，则有； 求最小项的方法：设为最小项，则有. 前项和最值的求法

(1)先求出数列的前项和，根据的表达式求解最值；

(2)根据数列的通项公式，若，且，则最大；若，且，则最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.

2． 在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．

3.数列中恒等关系和有解问题主要是建立关于数列中基本量或相关参数的方程，再进一步论证该方程是否有整数解问题，其中对方程的研究是关键，一般可从奇偶数、约数、有理数、无理数等方面论证，也可以先利用参数范围，代入相关的整数研究．

4．数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式，不同类型的比较一般要构造函数来解决．

5．数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． 注意：对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大．解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号． 【新题变式探究】

【变式一】已知数列的通项公式为，前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，则常数所能取得的最大整数为 .