2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第二章 2.4 幂函数与二次函数 (含解析)

11

所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值，所以a<. 221

－∞，?. 综上，实数a的取值范围是?2??

(2)函数f (x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f (x)≤8恒成立，则实数a的最大值为________． 答案 2

1

解析 令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，

a1?

原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈??a，a?， 1?显然g(t)在??a，a?上单调递增，

所以f (x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8成立， 所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2， 又a>1，所以1

(3)(2019·河北武邑调研)已知定义在R上的奇函数f (x)满足：当x≥0时，f (x)＝x3，若不等式f (－4t)>f (2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案 (－∞，－2)

解析 由题意知f (x)在R上是增函数，结合f (－4t)>f (2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－

??m<0，

对任意实数t恒成立??

?Δ＝16－8m2<0?

4t>2m＋mt2对任意实数?m∈(－∞，－2)．

t恒成立，∴mt2＋4t＋2m<0

素养提升 逻辑推理是指从一些事实命题出发，依据逻辑规则推出另一个命题的思维过程，逻辑推理也是我们解决数学问题最常用、最重要的手段．二次函数的恒成立问题的求解中处处渗透了逻辑推理，此类题目可帮助我们养成严谨、缜密的思维习惯．