2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第二章 2.4 幂函数与二次函数 (含解析)

求二次函数的解析式

例1 (1)已知二次函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (0)＝3，对?x∈R，都有f (1＋x)＝f (1－x)成立，则f (x)的解析式为________________． 答案 f (x)＝x2－2x＋3 解析 由f (0)＝3，得c＝3， 又f (1＋x)＝f (1－x)，

∴函数f (x)的图象关于直线x＝1对称， b

∴＝1，∴b＝2，∴f (x)＝x2－2x＋3. 2

(2)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f (x)的最小值为f (－1)＝0，则f (x)＝________. 答案 x2＋2x＋1

解析 设函数f (x)的解析式为f (x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f (x)＝ax2＋bx＋1， 所以a＝1，b＝2a＝2，故f (x)＝x2＋2x＋1. 思维升华 求二次函数解析式的方法

跟踪训练1 (1)(2020·青岛模拟)已知二次函数f (x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x)＝______. 答案 x2＋2x

解析 设函数的解析式为f (x)＝ax(x＋2)(a≠0)， 所以

f (x)＝ax2＋2ax，由

4a×0－4a2

＝－1， 4a

得a＝1，所以f (x)＝x2＋2x.

(2)二次函数f (x)满足f (2)＝f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝________. 答案 －4x2＋4x＋7 解析 方法一 (利用一般式) 设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 4a＋2b＋c＝－1，??a－b＋c＝－1，

由题意得?

4ac－b??4a＝8，

2

a＝－4，??

解得?b＝4，

??c＝7.

所以所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二 (利用顶点式) 因为f (2)＝f (－1)，

2＋?－1?1

所以抛物线的对称轴为x＝＝.

22又根据题意函数有最大值8， 1

x－?2＋8. 所以f (x)＝a??2?1

2－?2＋8＝－1，解得a＝－4， 因为f (2)＝－1，所以a??2?1

x－?2＋8＝－4x2＋4x＋7. 所以f (x)＝－4??2? 二次函数的图象和性质

命题点1 二次函数的图象

例2 (1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )

答案 C

解析 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向b

下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在

2a

y轴的右侧，故应排除B，选C.

(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，已知图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，给出下面四个结论：

①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a

答案 ①④

解析 图象与x轴交于两点，∴b2>4ac，①正确；对称轴为直线x＝－1，∴－b

＝－1，即2a

2a－b＝0，②错误；f (－1)>0，∴a－b＋c>0，③错误；开口向下，a<0，b＝2a，∴5a<2a＝b，④正确，故正确的结论是①④. 命题点2 二次函数的单调性

例3 (1)函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( ) A．[－3,0) C．[－2,0] 答案 D

解析 当a＝0时，f (x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意． 3－a

当a≠0时，f (x)的对称轴为x＝，

2a

a<0，??

由f (x)在[－1，＋∞)上单调递减，知?3－a

≤－1，??2a

B．(－∞，－3] D．[－3,0]