2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第二章 2.4 幂函数与二次函数 (含解析)

§2.4 幂函数与二次函数

1．幂函数 (1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较

函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x 12y＝x1 －图象 定义域 值域 奇偶性 性在(－∞，0]上单质 单调性 调递增 ∞)上单调递增 公共点

2.二次函数的图象和性质

解析式 f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0) (1,1) 在R上单调递减；在(0，＋调递增 单调递增 上单调递减 在R上单在[0，＋∞)上和(0，＋∞)在(－∞，0)R R 奇函数 R {y|y≥0} 偶函数 R R 奇函数 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶函数 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数 图象 定义域 值域 R R ?4ac－b2，＋∞? ?4a?b－∞，－?上单调递减； 在x∈?2a??b－，＋∞?上单调递增 在x∈??2a??－∞，4ac－b2? 4a??b－∞，－?上单调递增； 在x∈?2a??b－，＋∞?上单调递减 在x∈??2a?单调性 对称性

b函数的图象关于直线x＝－对称 2a概念

1．二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

2．已知f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f (x)≥0恒成立的条件．提示 a>0且Δ≤0.

3．函数y＝2x2是幂函数吗？ 提示 不是．

方法微思考

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是

4ac－b2

.( × ) 4a

(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )

(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )

(4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.( √ )

题组二 教材改编

12

2．已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点?，?，则k＋α等于( )

?22?13

A. B．1 C. D．2 22答案 C

k＝1，??解析 由幂函数的定义，知?2?1?α. ＝k·??2??213∴k＝1，α＝.∴k＋α＝. 22

3．已知函数f (x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( ) A．[3，＋∞) C．(－∞，－3)

B．(－∞，3] D．(－∞，－3]