2020版高考数学一轮复习课后限时集训24平面向量的概念及线性运算理含解析北师大版

课后限时集训(二十四) 平面向量的概念及线性运算

(建议用时：40分钟) A组 基础达标

一、选择题

→

1．下列各式中不能化简为PQ的是( ) →→→A.AB＋(PA＋BQ) →→→→B．(AB＋PC)＋(BA－QC) →→→C.QC－QP＋CQ →→→D．PA＋AB－BQ

→→→→→→→→→D [AB＋(PA＋BQ)＝AB＋BQ＋PA＝PA＋AQ＝PQ；

→→→→→→→→→→→(AB＋PC)＋(BA－QC)＝(AB＋BA)＋(PC－QC)＝PC＋CQ＝PQ； →→→→→→QC－QP＋CQ＝PC＋CQ＝PQ； →→→→→PA＋AB－BQ＝PB－BQ， →→→

显然由PB－BQ得不出PQ， →

所以不能化简为PQ的式子是

D．]

2．(2019·武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在→→→→

平面内的任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于( )

→

A.OM →C．3OM

→B．2OM →D．4OM

→→→→→→

D [由题意可得OA＋OC＝2OM，OB＋OD＝2OM， →→→→→∴OA＋OB＋OC＋OD＝4OM.]

3．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( )

A．1 1

C．1或－

2

1B．－

21

D．－1或－

2

- 1 -

B [由于c与d共线反向，则存在实数k使

c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．

整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k) B．

??λ＝k，

由于a，b不共线，所以有?

?2λk－k＝1，?

12

整理得2λ－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－. 21

又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.]

2

→→

4．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设AB＝a，AD＝b，→

则向量BF＝( )

12

A.a＋b 3312C．－a＋b

33

12B．－a－b

3312D．a－b 33

→2→2→→CEEF12

＝＝，则BF＝BE＝(BC＋CE)＝ABBF2333

C [由△CEF∽△ABF，且E是CD的中点得12?→1→?

?AD－2AB?＝－3a＋3b，故选C.] ??

→

5．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO→

＝λAB＋μBC，则λ＋μ等于( )

A．1 1C. 3

1B． 22D． 3

→

→→→→1→→→1→→1→1→

D [∵AD＝AB＋BD＝AB＋BC，∴2AO＝AB＋BC，即AO＝AB＋BC.

3326112

故λ＋μ＝＋＝.]

263

→→→

6．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋BA，则( ) A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上

- 2 -

→→→→→

B [因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B．] 7．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO→→→22

的中点，若DE＝λAB＋μAD(λ，μ为实数)，则λ＋μ＝( )

5A. 8C．1

1B． 45D． 16

→1→1→1→1→1→1→→1→3→13A [DE＝DA＋DO＝DA＋DB＝DA＋(DA＋AB)＝AB－AD，所以λ＝，μ＝－，故

2224244444

λ2＋μ2＝，故选A.]

二、填空题

→

8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋

→

58

AD＝λAO，则λ＝________.

→

→→→→

2 [因为ABCD为平行四边形，所以AB＋AD＝AC＝2AO. →→→

已知AB＋AD＝λAO，故λ＝2.]

→→→

9．(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1

－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．

→→9

－ [由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB＝λBD. 4→→→

又AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2， →→→

所以BD＝CD－CB＝3e1－2ke2－(ke1＋e2) ＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，

所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 又因为e1与e2 不共线，

??3＝λ3－k，所以?

?2＝－λ2k＋1，?

9

解得k＝－.]

4

10．下列命题正确的是________．(填序号)

①向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa； →→→

②在△ABC中，AB＋BC＋CA＝0；

- 3 -

③不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立； ④只有方向相同或相反的向量是平行向量；

⑤若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线． ⑤ [易知①②③④错误．

∵向量a与b不共线，∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．

若a＋b与a－b共线，则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，

??λ－1＝0，∴?

?1＋λ＝0，?

此时λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不共线．]

B组 能力提升

→→1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP＝OA＋→??→ABAC?＋λ?，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( ) →??→

?|AB||AC|?

A．外心 C．重心

B [作∠BAC的平分线AD． →→

→→ABAC因为OP＝OA＋λ＋，

→→|AB||AC|

→?→?→

→→λ′→ABACAD?＝λ′·＋所以AP＝λ?(λ′∈[0，＋∞))，所以AP＝·AD，

→??→→→

|AD||AD|?|AB||AC|?→→

所以AP∥AD，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选B．]

→→→

2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

→1→→→→

B [如图，∵D为AB的中点，则OD＝(OA＋OB)，又OA＋OB＋

2＝0，

→→

∴OD＝－OC，∴O为CD的中点，

11S△ABC又∵D为AB中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.]

24S△AOC3．(2019·西安调研)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角

- 4 -

B．内心 D．垂心

→

2OC