7 光的衍射习题详解

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??????600nm=428.6nm

3．波长为680nm的单色可见光垂直入射到缝宽为a?1.25?10?4cm的透射光栅上，观察到第四级谱线缺级，透镜焦距f?1m。求：

（1）此光栅每厘米有多少条狭缝；

（2）在屏上呈现的光谱线的全部级次和条纹数。

答案：（1）2000条；（2）屏上出现0,?1,?2,?3,?5,?6,?7级，共13条明纹。

5757a?bk?，根据题意知，当k??1时，k?4。所以光栅常数 aa?b?4a?5?10?4cm

11狭缝数 N???2000（条/厘米） ?4a?b5?10(a?b)? （2）由光栅公式(a?b)sin??k?得k?sin?。??对应于最高衍射级次

?2解：（1）缺级公式为k?kmax。将??680nm代入，得

5?10?6kmax???7.3?7（向前取整数）

?6.8?10?7所以在屏上出现的光谱级数为0,?1,?2,?3,?5,?6,?7，可看到共13条明纹。

(a?b)

4．波长为400nm~760nm范围的一束复色可见光垂直入射到光栅常数d?4.8?10?4cm的透射光栅上，在屏上形成若干级彩色光谱。已知透镜焦距f?1.2m。求：

（1）第二级光谱在屏上的线宽度；

（2）第二级与第三级光谱在屏上重叠的线宽度。 答案：（1）19.7cm；（2）9cm。

解：由光栅公式dsin??k?得第k级衍射角

?k?arcsink? d可见光为连续光谱，其最短波长和最长波长分别为?min?400nm和?max?760nm，因此其第k级光谱分布的角宽度为

??k??kmax??kmin

第k级光谱在焦平面上的线宽度为

?yk?ykmax?ykmin?f?tan?kmax?f?tan?kmin

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式中，?kmax?arcsin射角。

k?maxk?, ?kmin?arcsinmin分别为同一级光谱中最长和最短波长的衍dd（1）令k?2，即可由上式算出第二级谱线宽度

?y2?f?tan?2max?tan?2min??1?2??0.333?0.169??0.197m=19.7cm

（2）当第三级光谱最短波长的衍射角?3min小于第二级光谱最长波长的衍射角?2max时，将发生第二级与第三级光谱的重叠。其重叠的线宽度为

?L?f?tan?2max?tan?3min?

令k?3，可解得tan?3min?0.258，所以

?L?f?tan?2max?tan?3min??1?2??0.333?0.258??0.09m=9cm

计算提示：

令A?k?maxk?，B?min，则?kmax?arcsinA, ?kmin?arcsinB。再利用关系 ddx1?x2arcsinx?arctan，及tan?arctanx??x，可得

tan?kmax?A1?A2?11/A?12，tan?kmin?B1?B2?11/B?12

5．已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84?10-6rad，它们发出的光波波长为550nm。问望远镜物镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星？ 答案：0.139m。 解：由最小分辨角公式

?1?1.22??D，得

?1.22?550?10?9D?1.22???0.139m

?14.84?10?6

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