最新人教版高中数学选修2-3《组合》课堂探究2

课堂探究

一、组合概念的理解与应用

判断下列问题是排列问题还是组合问题，并分别求出对应的方法数．

(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？

(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？

(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？

思路分析：明确组合、排列的定义是解题的关键．若问题是否与顺序有关不明显，可以尝试写出其中的一个结果进行判断，再运用排列数与组合数公式求值．

区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有

无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

二、与组合数有关的计算

2898199

1．计算：(1)3C38－2C5＋C8；(2)C100＋C200； 123(3)C6＋C6＋C7.

思路分析：先考虑利用组合数的性质对原式进行化简，然后利用组合数公式展开计算．

m12．证明：mCmn＝nCn－1.

－

思路分析：式子中涉及字母，可以用阶乘式证明．

(1)组合数公式的选取：涉及具体数字的可以用展开式计算，涉及字

母的可以用阶乘式计算．

n(2)性质1：Cmn＝Cn

－m

mm1

主要应用于简化运算．性质2：Cm从右到左两个组合n＋1＝Cn＋Cn

－

数合为一个，实现了由繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简．

三、简单组合问题

现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？ (3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 思路分析：首先确定是否是组合问题，再确定完成事情是分步，还是分类．

解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只

是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．

四、有限制条件的组合问题

1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )．

A．30种 B．35种 C．42种 D．48种

思路分析：两类选修课选3门，依据A类选修课选1门或2门进行分类，每类需要利用分步乘法计数原理解决．

2．2012年“嘉庚”“敬贤”杯海峡两岸龙舟赛于2012年6月9日至11日在厦门市集美区举行．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，且既会划左舷又会划右舷的最多选1人，则不同的选法有( )．

A．4种 B．36种 C．40种 D．92种

思路分析：既会划左舷又会划右舷是多面手，是特殊元素，可以从他们的参与情况入手分类讨论．

(1)解有约束条件的组合问题与解有约束条件的排列问题的方法一

样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法．

(2)要正确理解题中的关键词(如“都”与“不都”，“至少”与“至多”，“含”与“不含”等)的确切含义，正确分类，合理分步．

(3)分配问题的一般思路是先选取，再分配．

答案：

活动与探究1：解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．分配方法有C45＝5种．

(2)是排列问题，选出的2个数有角色差异(作分子与作分母)．不同的分数有A2 5＝20个．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．不同的选法有C49＝126种．

8×7×65×428

活动与探究2：1.解：(1)3C3－2C＋C＝3×－2×＋1＝149. 858

3×2×12×1100×999821

(2)C100＋C199＝C＋C＝＋200＝5 150. 200100200

2×1

123238×7×6(3)C6＋C6＋C7＝C7＋C3＝56. 7＝C8＝3×2×1

n！2．证明：左边＝m· m！?n－m?！＝

n·?n－1?！

?m－1?！?n－m?！

?n－1?！－1

＝n＝nCmn－1＝右边， ?m－1?！?n－m?！

m1∴mCmn＝nCn－1.

－

活动与探究3：解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同10×9元素中取出2个元素的组合数，即C2＝＝45. 10

2×1

(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名

22

是女教师有C24种方法，即C6＋C4＝21(种)．

2

(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C4种，根据2

分步乘法计数原理，共有选法C26×C4＝

6×54×3

×＝90(种)． 2×12×1

迁移与应用：1.140 解析：第1步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有C37种不同的选法；第2步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有

33C4种不同的选法．根据分步乘法计数原理，共有C37C4＝140种不同的安排方案．

2

2．21 解析：分两类：一类是2个白球有C26＝15种取法，另一类是2个黑球有C4＝6

种取法，所以共有15＋6＝21种取法．

活动与探究4：1.A 解析：分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A

21

类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C1C2C4＝30种选法． 3·4＋C3·

33

2．C 解析：第一类：无既会划左舷又会划右舷的有C3·C4＝4种选法．

2332第二类：只有一名既会划左舷又会划右舷的有C12(C3C4＋C3C4)＝2(3×4＋6)＝36种选

法．

∴共有40种选法．