2019-2020学年数学人教A版选修2-1课时规范训练：2.1.2求曲线的方程 Word版解析版

第二章 2.1 2.1.2

基础练习

1．曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是( ) A．(0,0) C．(1,5) 【答案】D

【解析】利用“曲线的方程”和“方程的曲线”的意义进行判断．

2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，点Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是( )

A．2x＋y＋1＝0 C．2x－y＋5＝0 【答案】C

【解析】由题意知点M为PQ的中点，设Q(x，y)，则点P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.故选C．

3．等腰三角形ABC底边两端点是A(－3，0)，B(3，0)，顶点C的轨迹是( ) A．一条直线 C．一个点 【答案】B

【解析】注意当点C与点A，B共线时，不符合题意，应去掉．

→→

4．(2019年云南曲靖期末)已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足PM·PN＝12，则点P的轨迹方程为( )

A．x2＋y2＝16

B．x2＋y2＝8 B．一条直线去掉一点 D．两个点 B．2x－y－1＝0 D．2x－y－5＝0 11?

B．??5，5? D．(4,4)

C．x2＋y2＝4 【答案】A

D．x2＋y2＝2

→→→→

【解析】设P(x，y)，则PM＝(－2－x，－y)，PN＝(2－x，－y)．于是PM·PN＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12，化简得x2＋y2＝16，此即为所求点P的轨迹方程．

5．与两条坐标轴的距离的积是3的点的轨迹方程是________． 【答案】xy＝±3

【解析】设动点坐标为(x，y)，则由已知得|x|·|y|＝3，故轨迹方程为xy＝±3. 6．若点A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2＋xy－2＝0的曲线上，则m＝________. 【答案】－1

【解析】∵A(1,1)，B(2，m)都在方程＝1，m＝－1.

7．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC重心G的轨迹方程．

解：设点G的坐标为(x，y)，点C的坐标为(x1，y1)， ∵G点是△ABC的重心，

ax2＋xy－2＝0

??a＋1－2＝0，

的曲线上，∴?∴a

?4a＋2m－2＝0，?

?

∴?0－2＋y

y＝，?3

1

－2＋0＋x1x＝，

3

??x1＝3x＋2，

化简并整理得?①

?y1＝3y＋2.?

∴点C的坐标为(3x＋2,3y＋2)． ∵顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，

∴把①式代入y＝3x2－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1， 整理得y＝(3x＋2)2－1.

∴△ABC重心G的轨迹方程为y＝(3x＋2)2－1.

8．过点P1(1,5)作一直线交x轴于点A，过点P2(2,7)作直线P1A的垂线，交y轴于点B，→→

点M满足BM∶MA＝1∶2，求动点M的轨迹方程．

解：设直线P2B的方程为y－7＝k(x－2)，M(x，y)． 当k＝0时，得A(1,0)，B(0,7)． 114→→

则由BM∶MA＝1∶2，得x＝，y＝.

33

1

当k≠0时，则P1A的方程为y－5＝－(x－1)，

k则有A(5k＋1,0)，B(0，－2k＋7)．

5k＋1x＝，?3→→

则由BM∶MA＝1∶2，得?－4k＋14

y＝.?3消去k，并整理得12x＋15y－74＝0.

114?

经验证点??3，3?也满足方程12x＋15y－74＝0. 综上，所求的轨迹方程为12x＋15y－74＝0.

能力提升

→→→→9．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点且满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则点P的轨迹方程为( )

A．y2＝8x C．y2＝4x 【答案】B

→→→→【解析】设P(x，y)，∵|MN|·|MP|＝4?x＋2?2＋y2，MN·NP＝4(x－2)，∴4?x＋2?2＋y2＋4(x－2)＝0，即y2＝－8x.故选B．

10．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( ) A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0 B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0 C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0 D．4x－3y－16＝0或4x－3y－24＝0 【答案】B

【解析】由题意可得|AB|＝?2＋1?2＋?4－0?2＝5，又△ABC的面积为10，则动点C到ABy－44－0|4x－3y＋4|的距离d＝4.设C(x，y)，AB的方程为＝，即4x－3y＋4＝0.由题意可得2＝x－22＋14＋?－3?24，即|4x－3y＋4|＝20，所以动点C的轨迹方程为4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.

11．已知A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC|＝4，点A到直线l的距离为3，则△ABC外心的轨迹方程为____________________．

【答案】x2－6y＋5＝0

【解析】建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．设△ABC的外心为点P(x，y)，因为点P在线段BC的垂直平分线上，所以不妨令B(x＋2,0)，C(x－2,0)．又点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA|＝|PB|，即x2＋?y－3?2＝22＋y2，化简得x2－6y＋5＝0.于是△ABC外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0.

B．y2＝－8x D．y2＝－4x

12．过点M(0,1)的直线l交曲线4x2＋y2＝4于A，B两点，O是坐标原点，l上的动点P→1→→

满足OP＝(OA＋OB)．当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．

2

解：当直线 l斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1.

??y＝kx＋1，由?22消去y并化简，得 ?4x＋y＝4，?

(4＋k2)x2＋2kx－3＝0.

设直线l与曲线的交点A(x1，y2)，B(x2，y2)，动点P(x，y)， 则x1＋x2＝－

2k8

，∴y＋y＝. 12

4＋k24＋k2

→1→→

∴OP＝(OA＋OB)

2＝?

x1＋x2y1＋y2??2，2?

k4

＝?－4＋k2，4＋k2?.

??

?∴?4

y＝

?4＋k.2

k

x＝－，4＋k2

消去参数k, 得4x2＋y2－y＝0.

当直线l斜率不存在时，线段AB的中点为原点(0,0)，也满足上述方程． ∴点P的轨迹方程是4x2＋y2－y＝0.