2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 课时跟踪检测31 理 新人教A版

课时跟踪检测(三十一)

[高考基础题型得分练]

1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于( ) A.

－22

n＋1

π

B．cos D．cos

nπ

22

π

C．cos

n＋1n＋2

答案：D 解析：令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确． 2．设an＝－3n＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是( ) A.16

3

13

B．

3D．0

2

C．4

?5?23

答案：D 解析：∵an＝－3?n－?＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an取得最

?2?4

大值为0.

3．[2017·湖北黄冈模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn＝n－2n＋2，则数列{an}的通项公式为( )

A．an＝2n－3

??1，n＝1，

C．an＝?

??2n－3，n≥2

2

B．an＝2n＋3

??1，n＝1，

D．an＝?

??2n＋3，n≥2

答案：C

解析：当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于a1的值不适合上式，故选C.

4．[2017·河北保定调研]在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式为an＝( )

A．2－1 C．2n－1 答案：A

解析：解法一：由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知，an＝2－1. 解法二：由题意知，an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＋1＝2，∴an＝2－1.

5．[2017·山西四校联考]已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝( ) A．2

n－1

nnnnB．2

n－1

＋1

D．2(n－1)

－1 B．2－1 D．2n＋1

nC．2n－1 答案：B

解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1

＋1)，

∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2

n－1

＝2，∴an＝

n2－1.

6．数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝( ) A．7 C．5 答案：D

解析：依题意，得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.

7．在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N)的个位数，则a2 015＝( ) A．8 C．4 答案：D

解析：由题意，得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 015＝a335×6＋5＝a5＝2.

8．已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是( )

A．a2 014＝－1，S2 014＝2 C．a2 014＝－3，S2 014＝2 答案：D

解析：由an＋1＝an－an－1(n≥2)知，an＋2＝an＋1－an，则an＋2＝－an－1(n≥2)，an＋3＝－an，…，

B．a2 014＝－3，S2 014＝5 D．a2 014＝－1，S2 014＝5 B．6 D．2

*

nB．6 D．4

an＋6＝an，又a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，所以当k∈N时，ak＋1＋ak＋2

＋ak＋3＋ak＋4＋ak＋5＋ak＋6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以a2 014＝a4＝－1，S2 014＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.

9．在数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N，都有a1a2a3·…·an＝n，则a3＋a5

＝________.

61答案：

16

解析：由题意知，a1a2a3·…·an－1＝(n－1)， ∴an＝?

2

*

2

?n?2(n≥2)，

??n－1?

?3?2?5?261

∴a3＋a5＝??＋??＝.

?2??4?16

10．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)an＋1－nan＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则

2

22

它的通项公式an＝________.

1答案：

n解析：∵(n＋1)an＋1＋an＋1·an－nan＝0， ∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0. 又an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0， 即

22

an＋1na2a3a4a5an1234n－11

＝，∴····…·＝××××…×，∵a1＝1，∴an＝. ann＋1a1a2a3a4an－12345nn*

11．[2017·山西太原二模]已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N)，则an＝________.

答案：

2

n－n＋2

2

解析：由已知，得

1

an＋1an1

－＝n，

111111∴－＝n－1，－＝n－2，…，－＝1，

anan－1

1

1

an－1an－2

1

a2a1

∴－＝

nn－

2

ana1

2

，∴＝n2－n＋2

2

an，

∴an＝

2

.

n－n＋2

2

*

12．已知an＝n＋λn，且对于任意的n∈N，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．

答案：(－3，＋∞)

解析：因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N，都有an＋1＞an，即(n＋1)＋λ(n＋1)＞n＋λn，整理得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1)．(*)

因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.

[冲刺名校能力提升练]

1．[2017·山东日照实验中学月考]如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且(n≥2)，则这个数列的第10项等于( )

A.1

10 2

1

B．9 21D． 10

2

*

2

an－1－anan－an＋1

＝an－1an＋1

1

C. 5答案：C 解析：∵

an－1－anan－an＋1

＝， an－1an＋1

3

∴1－

1

anananan＝－1，＋＝2， an－1an＋1an－1an＋1

1

2

?1?∴＋＝，故??是等差数列． an－1an＋1an?an?

111111

又d＝－＝，∴＝＋9×＝5，

a2a12a10221故a10＝. 5

2．已知{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则的最小值为( ) A．21 C.21

2

B．10 17D．

2

ann答案：C

解析：由已知条件可知，当n≥2时，

an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝33＋2＋4＋…＋2(n－1) ＝n－n＋33.

又n＝1时，a1＝33满足此式，

2

an33

所以＝n＋－1.

nnan33

令f(n)＝＝n＋－1，

nn则f(n)在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数， 5321

又f(5)＝，f(6)＝，

52

an21

则f(5)>f(6)，故f(n)＝的最小值为. n2

3．[2017·北京海淀区期末]若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )

A．6 C．8 答案：B

解析：∵a1＝19，an＋1－an＝－3，

∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n. 设{an}的前k项和数值最大，

4

*

B．7 D．9