数值分析课程第五版课后习题答案（李庆扬等）

第一章 绪论（12）

1、设x?0，x的相对误差为?，求lnx的误差。

[解]设x*?0为x的近似值，则有相对误差为?r*(x)??，绝对误差为?*(x)??x*，从而lnx的误差为?*(lnx)?(lnx*)??(x*)?相对误差为?(lnx)?*r1*?x??， x*?*(lnx)lnx*??lnx*。

2、设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。

*[解]设x*为x的近似值，则有相对误差为?r绝对误差为?*(x)?2%x*，(x)?2%，

从而x的误差为?(lnx)?(x)?相对误差为?(lnx)?*rn*nx?x*?(x)?n(x)**n?12%x?2n%?x**n，

?*(lnx)(x)*n?2n%。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

*****x1?1.1021，x2?0.031，x3?56.430，x5?385.6，x4?7?1.0。

***[解]x1?1.1021有5位有效数字；x2?0.0031有2位有效数字；x3?385.6有4**位有效数字；x4?56.430有5位有效数字；x5?7?1.0有2位有效数字。

****4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3题所给,x2,x3,x4的数。

***（1）x1； ?x2?x4??f?*******?e*(x1?x2?x4)????(x)??(x)??(x)??(xk124)??x?k?1?k?[解]；

111??10?4??10?3??10?3?1.05?10?3222n****（2）x1x2x3；

??f***e*(x1x2x3)????k?1??xkn?**********??(x)?(xx)?(x)?(xx)?(x)?(xx)?(x)k231132123??*1[解]?(0.031?385.6)1?10?4?(1.1021?385.6)1?10?3?(1.1021?0.031)?10?3；

222?0.59768?10?3?212.48488?10?3?0.01708255?10?3?213.09964255?10?3?0.21309964255**（3）x2。 /x4*??f**e*(x2/x4)????k?1??xkn*?x21***??(x)??(x)??(x)k24**2?x4(x4)?[解]?110.031156.4611?3?3??10?3???10???10。 2256.430222(56.430)(56.430)56.4611?3?5???10?0.88654?10(56.430)225、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少？

4?*(?(R*)3)43[解]由1%??r*(?(R*)3)?可知，

43?(R*)33?444???*(?(R*)3)?1%??(R*)3???(R*)3??*(R*)?4?(R*)2??*(R*)， 33?3?1*?*(R*)11**?1%??从而?(R)?1%?R，故?r(R)?。 *33300R**6、设Y0?28，按递推公式Yn?Yn?1?1783(n?1,2,?)计算到Y100，若取100）试问计算Y100将有多大误差？ 783?27.982（五位有效数字，

[解]令Yn表示Yn的近似值，e*(Yn)?Yn?Yn，则e*(Y0)?0，并且由

11?27.982，Yn?Yn?1??783可知， 1001001Yn?Yn?Yn?1?Yn?1??(27.982?783)，即

10012e*(Yn)?e*(Yn?1)??(27.982?783)?e*(Yn?2)??(27.982?783)??，从

100100Yn?Yn?1?而e*(Y100)?e*(Y0)?(27.982?783)?783?27.982，

而783?27.982?11?10?3，所以?*(Y100)??10?3。 227、求方程x2?56x?1?0的两个根，使它至少具有四位有效数字（783?27.982） [解]由x?28?783与783?27.982（五位有效数字）可知， 。 x1?28?783?28?27.982?55.982（五位有效数字）

而x2?28?783?28?27.982?0.018，只有两位有效数字，不符合题意。 但是x2?28?783?128?783N?1N?1?1.7863?10?2。

55.9828、当N充分大时，怎样求?[解]因为?N?1N1dx？ 1?x21dx?arctan(N?1)?arctanN，当N充分大时为两个相近数相21?xN?1)，??arctanN，则N?1?tan?，N?tan?，从而 减，设??arctan(tan(???)?tan??tan?(N?1)?N1??2，

1?tan?tan?1?N(N?1)N?N?1因此?N?1N11dx?????arctan。 221?xN?N?19、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2? [解]由?*((l*)2)?[(l*)2]??*(l*)?2l*?*(l*)可知，若要求?*((l*)2)?1，则

?(l)?**?*((l*)2)2l*?111?，即边长应满足l?100?。

2002?10020012gt，假定g是准确的，而对t的测量有?0.1秒的误差，证明当t2增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。

10、设S?[证明]因为?*(S)?(dS**)?(t)?gt*?*(t)?0.1gt*， dt?(S)?*r?*(S)S*gt*?*(t)2?*(t)1???，所以得证。 1t*5t**2g(t)211、序列?yn?满足递推关系yn?10yn?1?1(n?1,2,?)，若y0?2?1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

??y?2[解]设yn为yn的近似值，?*(yn)?yn?yn，则由?0与

??yn?10yn?1?1?y0?1.411*?(y)??10?2，yn?yn?10(yn?1?yn?1)，即 可知，?02?yn?10yn?1?1?*(yn)?10?*(yn?1)?10n?*(y0)，

11从而?*(y10)?1010?*(y0)?1010??10?2??108，因此计算过程不稳定。

2212、计算f?(2?1)6，取2?1.4，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？

1(2?1)6，(3?22)3，

1(3?22)3，99?702。

[解]因为?*(f)?11?10?1，所以对于f1?， 62(2?1)?e*(f1)?f1e*(1.4)?611?1?4?2，有一位有效数字； ??10?6.54?10??10722(1.4?1)对于f2?(3?22)3，

11?e*(f2)?f2e*(1.4)?6(3?2?1.4)2??10?1?0.12?10?1??10?1，没有有效数

22字；

对于f3?1(3?22)3，

611?1?3有一位有效数??10?2.65?10??10?2，422(3?2?1.4)?e*(f3)?f3e*(1.4)?字；

11?对于f4?99?702，e*(f4)?f4e*(1.4)?70??10?1?35?10?1??101，没有

22有效数字。

13、f(x)?ln(x?x2?1)，求f(30)的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式ln(x?x2?1)??ln(x?x2?1)计算，求对数时误差有多大？

[解]因为302?1?899?29.9833（六位有效数字），?*(x)?1?10?4，所以 2