《空间角》学案

空间角及求法 成都37吴兴国cd37wxg.scxxt.com.cn

《空间角》学案

知识点归纳

1．异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a?//a,b?//b，a?,b?所成的角的大小与点O的选择无关，把a?,b?所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）．为了简便，点O通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围：(0,

?2

] 2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法 3．直线和平面所成角

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面，所成的角是直角 a一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角 b′Ob?直线和平面所成角范围： ?0，? 2（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 4．公式：平面?的斜线a与?内一直线b相交成θ角，且a与?相交成?1角，a在?

PaA?1??2Bc上的射影c与b相交成?2角，则有cos?1cos?2?cos?

?Ob5 二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l，两个

面分别为?,?的二面角记为??l??； 6．二面角的平面角：

（1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA,OB，则?AOB叫做二面角

??l??的平面角 （2）一个平面垂直于二面角??l??的棱l，且与两半平面交线分别为OA,OB,O为垂足，则?AOB也是??l??的平面角 说明：①二面角的平面角范围是[0,180]；

②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法 ??8求二面角的射影公式：cos??S?， S其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面内图形F的面积，S?是图形F在二面角的另一个面内的射影，?是二面角的大小 9．三种空间角的向量法计算公式：

???⑴异面直线a,b所成的角：cos??cos?a,b?；

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⑵直线a与平面?(法向量n)所成的角?：sin??cos?a,n?； ⑶锐二面角?：cos??cos?m,n?，其中m,n为两个面的法向量 ???????题型讲解

E是正方形BCC1B1的中心，【例1】（09广东）如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，点E，G在平面DCC1D1内的正投影． 点F、G分别是棱C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别是点

（1）证明：直线FG1?平面FEE1； （2）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值.

【变式】直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）

A．

30301 B． C． 10215D．

15 10【例2】（09北京理）如图，在三棱锥P?ABC中，PA?底面ABC,PA?AB,?ABC?60?,?BCA?90?，点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC

（Ⅰ）求证：BC?平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点E使得二面角A?DE?P为直二面角？并说明理由.

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PA?平面ABCD，PA?AD?4，【变式】（2009江西卷理）在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，AB?2. 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.

（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；

（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；

PNMADOBC【例3】(09湖北) 如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD?平面ABCD，SD=2a，AD?E是SD上的点，且DE??a(0???2)

（Ⅰ）求证：对任意的??(0,2]，都有AC?BE

2a点

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（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为?求?的值

，直

BE与平面ABCD所成的角为?，若tan?gtan??1，

【变式】(09全国Ⅱ文）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1, （Ⅰ）证明：AB=AC

A1 B1 D A

B E

（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小

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