高中数学第一章计数原理2排列第2课时排列的应用学案北师大版3

第2课时 排列的应用

学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．

知识点 排列及其应用 1．排列数公式

An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N＋，m≤n)＝

nmn！

.

n－m！

An＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1. 2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤

类型一 无限制条件的排列问题

例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

反思与感悟 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用分步乘法计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选

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取．

跟踪训练1 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？

类型二 排队问题

命题角度1 元素“相邻”与“不相邻”问题

例2 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法． (1)男、女各站在一起； (2)男生必须排在一起； (3)男生不能排在一起；

(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．

反思与感悟 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 跟踪训练2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单． (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

(3)5个歌唱节目中A，B必须相邻，C，D，E也必须相邻，则排列的方法有多少种？

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命题角度2 定序问题 例3 7人站成一排．

(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？

(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？

反思与感悟 这类问题的解法是采用分类法．n个不同元素的全排列有An种排法，m个不同元素的全排列有Am种排法．因此An种排法中，关于m个元素的不同分法有Am类，而且每一种An分类的排法数是一样的．当这m个元素顺序确定时，共有m种排法．

Am跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？

命题角度3 特殊元素与特殊位置问题

例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题： (1)甲不在首位的排法有多少种？

(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？

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反思与感悟 “在”与“不在”排列问题解题原则及方法

(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．

(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．

提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．

跟踪训练4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？

类型三 数字排列问题

例5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)能被5整除的五位数； (2)能被3整除的五位数；

(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项．

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