推荐江苏省2019高考数学二轮复习专题四函数与导数第3讲函数导数的综合问题学案

2 000

又y′＝－3，

x1 0002 000

则l的方程为y－2＝－3(x－t)，

tt?3t??3 000?由此得A?，0?，B?0，2?.

t??2??

故f(t)＝

?3t?2＋?3 000?3

?2??t2?2＝2????

6

4×10

t＋4，

2

6

tt∈[5,20]．

4×1016×10

②设g(t)＝t＋4，则g′(t)＝2t－. 5

2

6

tt令g′(t)＝0，解得t＝102.

当t∈(5,102)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数； 当t∈(102，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数． 所以当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值， 所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝153.

答 当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米． 思维升华 利用导数解决实际应用问题的一般步骤

(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．

(2)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.

(3)求最值：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．

(4)结论：回归实际问题作答．

跟踪演练2 如图所示，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单122位长度为1 km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k)x(k>0)

20表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1)求炮的最大射程；

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

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解 (1)令y＝0，得kx－(1＋k)x＝0.

20由实际意义和题设条件知x>0，k>0， 20k2020

故x＝≤＝10， 2＝1＋k12

k＋

k当且仅当k＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10 km. 答 炮的最大射程为10 km.

122

(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标?存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k)a成立?关于k的方

20程ak－20ak＋a＋64＝0有正根?Δ＝(－20a)－4a(a＋64)≥0?0

答 当横坐标a不超过6 km时，炮弹可以击中飞行物． 热点三 利用导数研究函数的零点问题

例3 已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x＋ax－2(e为自然对数的底数，a∈R)． (1)判断曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数；

2

22

2

2

2

2

?1?(2)当x∈?，e?时，若函数y＝f(x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围． ?e?

解 (1)f′(x)＝ln x＋1， 所以切线斜率k＝f′(1)＝1.

又f(1)＝0，所以曲线在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1.

??y＝－x＋ax－2，由?

?y＝x－1，?

2

2

2

得x＋(1－a)x＋1＝0.

2

由Δ＝(1－a)－4＝a－2a－3＝(a＋1)(a－3)可知， 当Δ＞0，即a＜－1或a＞3时，有两个公共点； 当Δ＝0，即a＝－1或a＝3时，有一个公共点； 当Δ＜0，即－1＜a＜3时，没有公共点．

?1?2

(2)y＝f(x)－g(x)＝x－ax＋2＋xln x，x∈?，e?，

?e?

2

由y＝0，得a＝x＋＋ln x.

x2?x－1??x＋2??1?令h(x)＝x＋＋ln x，x∈?，e?，则h′(x)＝. xx2?e?

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