推荐江苏省2019高考数学二轮复习专题四函数与导数第3讲函数导数的综合问题学案

第3讲 函数、导数的综合问题

[考情考向分析] 函数和导数的综合问题，主要是利用导数证明不等式问题、函数零点问题、函数的实际应用问题等，一般需要研究函数的单调性和最值问题，注重数学思想的考查．B级要求，题目难度较大．

热点一 利用导数研究不等式问题

例1 已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x＋ax－3.

(1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； 12

(2)求证：对一切x∈(0，＋∞)，ln x>x－恒成立．

eex32

(1)解 由题意知2xln x≥－x＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a≤2ln x＋x＋.

2

x3

设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，

x?x＋3??x－1?

则h′(x)＝， 2

x当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)min＝h(1)＝4.

因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立， 所以a≤h(x)min＝4，

即实数a的取值范围是(－∞，4]．

x2

(2)证明 问题等价于证明xln x>x－(x∈(0，＋∞))恒成立．

ee

又f(x)＝xln x，f′(x)＝ln x＋1，

?1?当x∈?0，?时，f′(x)<0，f(x)单调递减； ?e??1?当x∈?，＋∞?时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ?e?

1?1?所以f(x)min＝f ??＝－.

e?e?

1 / 19

x21－x设m(x)＝x－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝x，

eee

1

易知m(x)max＝m(1)＝－，

e

12

从而对一切x∈(0，＋∞)，ln x>x－恒成立．

eex思维升华 利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 12

跟踪演练1 已知函数f(x)＝ln x－ax＋x，a∈R.

2(1)若f(1)＝0，求函数f(x)的单调减区间；

(2)若关于x的不等式f(x)≤ax－1恒成立，求整数a的最小值． 解 (1)因为f(1)＝1－＝0，所以a＝2，

2此时f(x)＝ln x－x＋x(x>0)， 1－2x＋x＋1

f′(x)＝－2x＋1＝(x>0)．

2

2

axx由f′(x)<0，得2x－x－1>0， 1

解得x<－或x>1.

2又因为x>0，所以x>1.

所以f(x)的单调减区间为(1，＋∞)．

12

(2)方法一 由f(x)≤ax－1恒成立，得ln x－ax＋x≤ax－1在(0，＋∞)上恒成立，

2ln x＋x＋1

问题等价于a≥在(0，＋∞)上恒成立．

12

x＋x2ln x＋x＋1

令g(x)＝(x＞0)，只需a≥g(x)max即可．

12

x＋x2

2

?1??x＋1??－x－ln x??2?

又g′(x)＝，

1?x2＋x?2?2???

1

令g′(x)＝0，得－x－ln x＝0.

21

设h(x)＝－x－ln x(x＞0)，

2

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11

因为h′(x)＝－－<0，

2x所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 1

不妨设－x－ln x＝0的根为x0.

2

当x∈(0，x0)时，g′(x)>0；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)<0， 所以g(x)在(0，x0)上是增函数，在(x0，＋∞)上是减函数， 11＋x0

2ln x0＋x0＋11

所以g(x)max＝g(x0)＝＝＝. 12?1?x0x0＋x0x0?1＋x0?2?2?11?1?因为h??＝ln 2－>0，h(1)＝－<0， 42?2?11

所以

2x0所以a≥2，即整数a的最小值为2.

12

方法二 令g(x)＝f(x)－(ax－1)＝ln x－ax＋(1－a)x＋1，

21－ax＋?1－a?x＋1

所以g′(x)＝－ax＋(1－a)＝. 2

xx当a≤0时，因为x>0，所以g′(x)>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数．

13

又因为g(1)＝ln 1－a＋(1－a)＋1＝－a＋2>0，

22所以关于x的不等式f(x)≤ax－1不能恒成立．

－ax＋?1－a?x＋1?ax－1??x＋1?

当a>0时，g′(x)＝＝－. 2

xx1令g′(x)＝0，得x＝. a?1?所以当x∈?0，?时，g′(x)>0；

?

a?

?1?当x∈?，＋∞?时，g′(x)<0，

?a?

?1??1?因此函数g(x)在?0，?上是增函数，在?，＋∞?上是减函数．

?

a?

?a?

1111?1??1?2

故函数g(x)的最大值为g??＝ln －a×??＋(1－a)×＋1＝－ln a.

a2?a?a2a?a?1

令h(a)＝－ln a，

2a11

因为h(1)＝>0，h(2)＝－ln 2<0，

24

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又h(a)在(0，＋∞)上是减函数， 所以当a≥2时，h(a)<0， 所以整数a的最小值为2.

热点二 利用导数研究实际应用问题

例2 (2015·江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，

l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，al1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝2(其

x＋b中a，b为常数)模型．

(1)求a，b的值；

(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度． 解 (1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)． 将其分别代入y＝

a2

x＋b，

a??25＋b＝40，得?a??400＋b＝2.5，

??a＝1 000，解得?

?b＝0.?

1 000

(2)①由(1)知，y＝2(5≤x≤20)，

x?1 000?则点P的坐标为?t，2?，

?

t?

设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，

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