江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题（十五） - word版含解析

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)

数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修4-1：几何证明选讲)

如图，AB是圆O的直径，C为圆O外一点，且AB＝AC，BC交圆O于点D，过D作圆O的切线交AC于点E.求证：DE⊥AC.

B. (选修4-2：矩阵与变换)

在平面直角坐标系xOy中，设点A(－1，2)在矩阵M＝?4)绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．

C. (选修4-4：坐标系与参数方程)

?－1

? 0

0?1?

将点B(3，?对应的变换作用下得到点A′，

?x＝－1＋55t，??x＝sinθ，

在平面直角坐标系xOy中，已知直线?(t为参数)与曲线?(θ为参数)相交于A，

?y＝cos2θ?25y＝－1＋t?5

B两点，求线段AB的长．

D. (选修4-5：不等式选讲)

已知a，b，c∈R，4a2＋b2＋2c2＝4，求2a＋b＋c的最大值．

【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 一个摸球游戏，规划如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k∈N*)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．

(1) 求概率P(X＝0)的值；

(2) 为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值． (注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！)

23.设S4k＝a1＋a2＋…＋a4k(k∈N*)，其中ai∈{0，1}(i＝1，2，…，4k)．当S4k除以4的余数是b(b＝0，1，2，3)时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m(b)．

(1) 当k＝2时，求m(1)的值； (2) 求m(3)关于k的表达式，并化简．

(十五)

21. A. 证明：连结OD，

因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.

由圆O知OB＝OD，所以∠B＝∠BDO. 从而∠BDO＝∠C，所以OD∥AC.(6分) 因为DE为圆O的切线，所以DE⊥OD， 又OD∥AC，所以DE⊥AC.(10分) B. 解：设B′(x，y)，

?－1 0??－1??1?

依题意，由????＝??，得A′(1，2)．(4分)

? 0 1?? 2??2?

→→

则A′B＝(2，2)，A′B′＝(x－1，y－2)，

?0 －1?

记旋转矩阵N＝??，(6分)

?1 0?

?0 －1??2??x－1??－2??x－1?则?＝，即???????＝??， ?1 0??2??y－2?? 2??y－2???x＝－1，解得?

?y＝4，?

所以点B′的坐标为(－1，4)．(10分)

C. 解：将直线的参数方程化为普通方程，得y＝2x＋1. ①(3分) 将曲线的参数方程化为普通方程，得 y＝1－2x2(－1≤x≤1)． ②(6分)

??x＝－1，??x＝0，

由①②，得?或?(8分)

??y＝－1y＝1，??

所以A(－1，－1)，B(0，1)，

从而AB＝（－1－0）2＋（－1－1）2＝5.(10分)

1?2?22222

D. 解：由柯西不等式，得[（2a）＋b＋（2c）][1＋1＋]≥(2a＋b＋c)2.(6分)

?2?

因为4a2＋b2＋2c2＝4， 所以(2a＋b＋c)2≤10.

所以－10≤2a＋b＋c≤10. 所以2a＋b＋c的最大值为10，

1021010

当且仅当a＝，b＝，c＝时等号成立．(10分)

555

22. 解：(1) 事件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，

1?5?225

则P(X＝0)＝3××?6?＝.(3分)

672

(2) 依题意，X的可能值为k，－1，1，0，

1?35?31251??且P(X＝k)＝?6?＝，P(X＝－1)＝?6?＝，

2162162

1?55

P(X＝1)＝3×??6?×6＝72，(6分)

结合(1)知，参加游戏者的收益X的数学期望为

11255k－110

E(X)＝k×＋(－1)×＋1×＝(元)，(8分)

21621672216

为使收益X的数学期望不小于0元，所以k≥110，即kmin＝110.(10分)

23. 解：(1) 当k＝2时，数列a1，a2，a3，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，

5

所以m＝C18＋C8＝64.(3分)

(2) 依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，…，或(4k－1)个1，其余为0，

7114k－1

所以m(3)＝C34k＋C4k＋C4k＋…＋C4k.(5分)

594k－3

同理，得m(1)＝C14k＋C4k＋C4k＋…＋C4k.

4k－i(i＝3，7，11，…，4k－1)， 因为Ci4k＝C4k

所以m(1)＝m(3)．

3594k－34k－14k－1

又m(1)＋m(3)＝C1， 4k＋C4k＋C4k＋C4k＋…＋C4k＋C4k＝2

－－

所以m(3)＝24k2＝42k1.(10分)