高等代数 习题及参考答案

2s4??14?4?12?2?4?1?3?2?2。

3s,s,sss???3?1?2。 n?24562315）当时，同1）所给，同4）所给，且

s7s5s2??s?s?052。 318．证明：如果对于某一个6次方程有1，那么7证 这时n?6，并注意

s1??1?0，且s1?3?3?0，所以?3?0，于是

s2??2?2，s5??5?2?3?5?5，即s5?5?5。

而

s7??1s6??2s5??3s4??4s3??5s5??6s1??7?2?5，

s7ss???2?5?5?252。 故719．求一个n次方程使

s1?s2?..?sn?1?0。

nn?1nx??x?...?(?1)?n?0，由题设及牛顿公式，可得 1解 设此方程为

?1??2?...?n?1?0，故所求方程为xn?(?1)n?n?0或xn?a?0。

20．求一个n次方程使

s1?s2?..?sn?0。

nn?1nx??x?...?(?1)?n?0， 1解 设此方程为

由题设及牛顿公式可得

?k??k?1?1k (k?2,3,...,n)，

即

?k??1kn，, k! (k?2,3,...12所以

?2??12，

n?3?131?1?n??1n3! ，...，n!，

故所求方程为

x??1xn?1??122!xn?2?...?(?1)n?1nn!?0。

第二章 行 列 式

1. 求以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性

1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4;

3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1; 解:1) 所求排列的逆序数为:

??0?1?1?3?3?0?1?1?10， ??134782695 所以此排列为偶排列。

2) 所求排列的逆序数为:

??1?0?4?5?4?3?0?1?18， ??217986354 所以此排列为偶排列。

3) 所求排列的逆序数为:

??987654321??8?7?6?5?4?3?2?1?9?9?1??362，

所以此排列为偶排列。 2.选择i与k使

1) 1274i56k9成偶排列； 2) 1i25k4897成奇排列。

解: 1) 当i?8,k?3时, 所求排列的逆序数为:

???1274i56k9????127485639 ?0?0?4?1?3?1?1?0?10， 故当i?8,k?3时的排列为偶排列.。 2)当i?3,k?6时, 所求排列的逆序数为:

??1i25k4897????132564?897 ?0?1?0?1?1?0?1?1?5， 故当i?3,k?6时的排列为奇排列。

3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换。

?1,2??2,5??3,4?????21435????25431????25341解: 12345。

4.决定排列n?n?1??21的逆序数,并讨论它的奇偶性。

解: 因为1与其它数构成n?1个逆序,2与其它数构成n?2个逆序, ……n?1与n构成1个逆序,所以排列n?n?1??21的逆序数为

??n?n?1??21???n?1???n?2????2?1n?n?1?2故当n?4k,4k?1时，排列为偶排列；? 当n?4k?2,4k?3时排列为奇排列。 5.如果排列 少?

解: 因为比

x1x2?xn?1xn的逆序数为k,排列xnxn?1?x2x1的逆序数是多

xi大的数有n?xi个,所以在

xnxn?1?x2x1与x1x2?xn?1xn这两个排列中,由xi与比它的

n?xi.因而,由xi构成的逆序总数

n?n?1?2。

各数构成的逆序数的和为

恰为 而排列

1?2????n?1??x1x2?xn?1xn的逆序数为k,故排列xnxn?1?x2x1的逆序数

n?n?1??k2为。

6.在6阶行列式中, 什么符号?

解: 在6阶行列式中,项

a23a31a42a56a14a65, a32a43a14a51a66a25这两项应带有

a23a31a42a56a14a65前面的符号为

4?4??234516????312645?(?1)???1?

?1 。

同理项

a32a43a14a51a66a25前面的符号为

??341562????234165?6?4?????1??1?1 。

所以这两项都带有正号。

7．写出4阶行列式中所有带有负号并且因子 解： 所求的各项应是

a23的项。

?a11a23a32a44 ， ?a12a23a34a41 ， ?a14a23a31a42 。

8．按定义计算行列式：

00?00??01?20???010?002?????00?. 1）

0n?1?00n0?0000? 2）

000?n?1n00?0

?010?200???? 3）

n?1?0000?00n 。

解：1）所给行列式的展开式中只含有一个非零项 它前面的符号应为??1???n(n?1)?21?n?n?1?2a1na2,n?1?an1，

???1?n(n?1)2 ，

所以原行列式=??1?n!。

2）所给行列式的展开式中只含有一个非零项

??23?n1?n?1?????1??1 它前面的符号应为 ，

n?1???1n！ 所以原行列式=。

a12a23?an?1,nan1，

3）所给行列式的展开式中只含有一个非零项面的符号应为??1????n?1?n?2???21n?a1,n?1a2,n?2?an?1,1ann， 它前

???1?2?n?1??n?2?2 ，

所以原行列式=??1? 9．由行列式定义证明：

?n?1??n?2?n！。

a1b1c1

a2b2c2d2e2a3b3000a4b4000a5b50?000d1e1

解：行列式展开的一般项可表示为

a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，列标

j3j4j5只可以在1，

2，3，4，5中取不同的值，故三个下标中至少有一个要取3，4，5列中之一数，从而任何一个展开式中至少要包含一个0元素，故所给行列式展开式中每一项的乘积必为0，因此原行列式值为0。

10． 由行列式定义计算