高等代数 习题及参考答案

即证得

r(ai)?f(ai)?k(ai) (i?1,2,...n，,

n 12．

设

r(x)?k(x)??i?1f(ai)F(x)(x?ai)F?(ai)。

a1,a2,...,an与F(x)同上题，且b1,b2,...,bn是任意n个数，显然

L(x)??i?1n 适合条件

biF(x)(x?ai)F?(ai)

L(ai)?bi (i?1,2,...n。,

这称为拉格朗日(Lagrange)插值公式。

利用上面的公式：

1） 一个次数?4的多项式f(x)，它适合条件： f(2)?3,f(3)??1,f(4)?0,f(5)?2

2）一个二次多项式f(x)，它在

x?0,?2,?处与函数sinx有相同的值；

3）一个次数尽可能低的多项式f(x)，使

f(0)?1,f(1)?2,f(2)?5,f(3)?10

解 1）设F(x)?(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)，且 f(2)?3,f(3)??1,f(4)?0,f(5)?2， 将它们代入L(x)（即f(x)），可得

f(x)?3(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)(?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)?(x?2)(2?3)(2?4)(2?5)(x?3)(3?2)(3?4)(3?5) ?0(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)2(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)?(x?4)(4?2)(4?3)(4?5)(x?5)(5?2)(5?3)(5?4)

217203??x3?x2?x?42326 。

2） 已知

? sin0?0fsin??1f()(，0 ??0?f?( )22， sin??F(x)?x(x?)(x??)2设，与上题类似，可得

f(x)??

?4?2x(x??)。

3） 同理，设F(x)?x(x?1)(x?2)(x?3)，可得

2f(x)?x?1。

14．设f(x)是一个整系数多项式，试证：如果f(0)与f(1)都是奇数，那么f(x)不能有整数根。

f(x)?(x?a)f1(x)，由综合法知商式f1(x)也为整系

证 设a是f(x)的一个整数根，则

数多项式，于是

?f(0)??af1(0)?f(1)?(1?a)f1(1) ?

又因为a与1?a中必有一个为偶数，从而f(0)与f(1)中至少有一个为偶数，与题设矛盾。故f(x)无整数根。 15．设

x1,x2,...,xn是方程

nn?1x?ax?...?an?0 1

的根，证明：证 设

x2,...,xn的对称多项式可以表成x1与a1,a2,...,an?1的多项式。

f(x2,...,xn)是关于x2,...,xn的任意一个对称多项式，由对称多项式的基本定理，有

//f(x,...,x)?g(?,...,?2n1n?1) (1)

/?(i?1,2,...,n?1)是x2,...,xn的初等对称多项式。 1其中

由于

??1/??1?x1?//??2??2?x1?1??....................//???n?1??n?1?x1?n?2 （2）

其中

?i为x1,x2,...,xn的初等对称多项式，但是

?1??a1???2?a2??.............?n?1???n?1?(?1)an?1 （3）

/x,a,a,...,an?1的一个多项式，不妨记为 ?将（3）代入（2）可知，i是112?i/?pi(x1,a1,a2,...,an?1) (i?1,2,...n?, （4）

再将（4）代入（1）式右端，即证

f(x2,...,xn)可表为x1,a1,a2,...,an?1的多项式。

nn?1nf(x)?(x?x)(x?x)...(x?x)?x??x?...?(?1)?n， 12n116．设

kkks?x?x?...?xk12n令 (k?0,1,2,...)。

1） 证明

k?1?(x)?(s0xk?s1xk?1?...?sk?1x?sk)f(x)?g(x)xf

其中g(x)的次数?n或g(x)?0。 2） 由上式证明牛顿(Newton)公式：

k?1ks??s??s?...?(?1)?s?(?1)k?k?0 （对1?k?n） k1k?12k?2k?11

ns??s??s?...?(?1)?nsk?n?0 （对k?n） k1k?12k?2

nf(x)xk?1k?1f?(x)??xf?(x)??f(x)i?1x?xi，i?1x?xi证 1）由假设

nnnxk?1?xik?1xik?1??f(x)??f(x)??(xk?xixk?1?...?xik)f(x)?g(x)x?xii?1x?xi i?1 i?1，

nxik?1g(x)??f(x)i?1x?xi其中是一个次数?n的多项式。故

nk?1?(x)?(s0xk?s1xk?1?...?sk?1x?sk)f(x)?g(x)xf nn?1nf(x)?x??x?...?(?1)?n， 12）由于

xk?1f?(x)?xk?1(nxn?1?(n?1)?1xn?2?...?(?1)n?1?n?1)，

因此得等式

kk?1nn?1n(sx?sx?...?sx?s)(x??x?...?(?1)?n)?g(x) 01k?1k1

?xk?1(nxn?1?(n?1)?1xn?2?...?(?1)n?1?n?1) (?)

nn当k?n时，比较上式两端含x的系数，首先由于?(g(x))?n,g(x)不含有x的项，所以

等式左端含x的系数为

nsk??1sk?1??2sk?2?...?(?1)k?1?k?1s1?(?1)ks0?k?0，

kn(?1)(n?k)?k，所以 x而右端含的项只有一项，它的系数为

sk??1sk?1??2sk?2?...?(?1)k?1?k?1s1?(?1)ks0?k?(?1)k(n?k)?k，

注意到

s0?n，即证得

sk??1sk?1??2sk?2?...?(?1)k?1?k?1s1?(?1)k?k?0。

nn当k?n时，等式(?)右端所有项的次数都大于n，所以含x的系数为0，而左端含x的项

的

nns??s?...?(?1)?ss??s?...?(?1)?nsk?n?0。得证。 k1k?1nk?nk1k?1系数为，因此

17．根据牛顿公式，用初等对称多项式表示

s2,s3,s4,s5,s6。

2s?s??2??0s??s???2?2。 n?621121121解 1）当时，由上题可得，而，所以3s???3?1?2?3?3， 31同理可得

2s4??14?4?12?2?4?1?3?2?2?4?4，

2s5??15?5?13?2?5?12?3?5?1?2?5?1?4?5?2?3?5?5，

23s6??16?6?14?2?6?13?3?9?12?2?6?12?4?2?22?3?3?6?2?4?6?1?5?12?1?2?3?6?6。

2）当n?5时，

s2,s3,s4,s5同1）所给，且

2s6??16?6?14?2?6?13?3?9?12?2?6?12?4?12?1?2?3 32?6?1?5?2?2?6?2?4?3?3。

3) 当n?4时，

s2,s3,s4同1）所给，s6同2）所给，且

2s5??15?5?13?2?5?12?3?5?1?2?5?1?4?5?2?3。

4）当n?4时，

s2,s3同1）所给，s5,s6同3）所给，且