高等代数 习题及参考答案

?f1(1)??f2(1)?0?2f(1)??f2(1)?0?1，

解之得

f1(1)?0,f2(1)?0。得证。

n26．求多项式x?1在复数范围内和在实数范围内的因式分解。

解 在复数范围内x?1?(x?1)(x??)(x??)...(x??n2n?1)，其中

??cos2?2??isin33，

jn?j???(0?j?n)，所以，当n为奇数时，有 在实数域内

n?12n?12x?1?(x?1)[x?(???n2n?1)x?1][x?(???22n?2)x?1]...?[x?(?2??)x?1]

?j??n?j??j??j?2cos其中

当n是偶数时，有

2j?n?1(j?1,2,...,)nn，皆为实数。

n?12n?12x?1?(x?1)(x?1)[x?(???27．求下列多项式的有理根：

32x?6x?15x?14； 1）

n2n?1)x?1][x?(???22n?2)x?1]...?[x?(?2??)x?1]

2） 4x?7x?5x?1；

3） x?x?6x?14x?11x?3。 解 利用剩余除法试根，可得 1） 有一个有理根2。

543242111?,??2） 有两个有理根22（即有2重有理根2）。

3） 有五个有理根3,?1,?1,?1,?1（即一个单有理根3和一个4重有理根?1）。 28．下列多项式在有理数域上是否可约？

2x1）?1；

2） x?8x?12x?2； 3）x?x?1；

px?px?1,p为奇素数； 4）

4x5）?4kx?1,k为整数。

63432解 1）因为?1都不是它的根，所以x?1在有理数域里不可约。 2）利用艾森斯坦判别法，取p?2，则此多项式在有理数域上不可约。 3）首先证明：

命题 设有多项式f(x)，令x?y?1或x?y?1，得

2g(y)?f(y?1)或g(y)?f(y?1)

则f(x)与g(y)或者同时可约，或者同时不可约。

f(x)?f1(x)f2(x)，从而g(y)?f(y?1)?f1(y?1)f2(y?1)，

事实上，若f(x)可约，即

这就是说g(y)也可约，反之亦然。

63x?x?1在有理数域上不可约。令x?y?1，则多项式变为 现在我们用它来证明

(y?1)6?(y?1)3?1?y6?6y5?15y4?21y3?18y2?9y?3

63利用艾森斯坦判别法，取p?3，即证上式不可约，因而x?x?1也不可约。

pf(x)?x?px?1，令x?y?1，则g(y)?f(y?1) 4） 设

1p?12p?2p??yp?C?C?...?Cpypypi2p?1y2?(pC?)py?p

2p|Cp(i?1,2,...,p?1)pp|p，由于是素数，因而，但所以由艾森斯坦判别法，即证g(y)在有理数域上不可约，因而f(x)也在有理数域上不可约。

4f(x)?x?4kx?1，令x?y?1，可得 5） 已知

g(y)?f(y?1)?y4?4y3?6y2?(4k?4)y?4k?2

利用艾森斯坦判别法，取p?2，即证g(y)在有理数域上不可约，因而f(x)也在有理数域上不可约。

29．用初等对称多项式表求出下列对称多项式：

222222xx?xx?xx?xx?xx?xx1212131323231）；

2）

(x1?x2)(x1?x3)(x2?x3)；

222(x?x)(x?x)(x?x)1213233）；

222222222222xx?xx?xx?xx?xx?xx4； 121314232434）

5)6)

(x1x2?x3)(x2x3?x1)(x3x1?x2)；

(x1?x2?x1x2)(x2?x3?x2x3)(x1?x3?x1x3)。

2?11?002??2?3??1?2， xx(2,1,0)112解 1）对称多项式的首项为，其方幂为，即222222xx?xx?xx?xx?xx?xx??1?2??3x1x2x3， 121213132323又因为

所以 原式=

?1?2?3?3。

(x1?x2)(x1?x3)(x2?x3)

2）同理可得

?x12x2?x1x22?x12x3?x1x32?x22x3?x2x32?2x1x2x3 ??1?2?3?3?2?3??1?2??3

222222(x?2xx?x)(x?2xx?x)(x?2xx?x) 112211332233３）原式=

?x14x22?...，

42xx2，所以?的方幂之积为 1由此可知多项式时六次对称多项式，且首项为

指数组 4 2 0 4 1 1 3 3 0 3 2 1 2 2 2 22332???a???b??c????d?121321233原式= (1)

对应?的方幂乘积 22?? 12 3?? 13 3?2 ?1?2?3 2?3 只要令

x1?0,x2?x3?0,则原式左边?0。另一方面，有?1?2,?2?1,?3?0，

x1?x2?1,x3??2，得d??27。

代入（1）式，得b??4。再令令

x1?x2?1,x3??1，得

?a?c?22 （2）

令

x1?x2?x3?1,得

3a?c?6 （3）

由（2），（3）解得a??4,c?18。因此

22332????4???4??18????27?121321233原式。 222222222222xx?xx?xx?xx?xx?xx4 121314232434）原式=

指数组 2 2 0 0 2 1 1 0 对应?的方幂乘积 2?2 1 1 1 1 2???a?1?3?b?4 2设原式

?1?3 ?4 令

x1?x2?x3?1,x4?0,得a??2。 x1?x2?x3?x4?1,得b?2。

再令

2??2?2?1?3?2?4。 因此原式

222333xxx?(xxx?xxx?xxx) 1231231231231） 原式=

222222?(xx?xx?xx3)?x1x2x3， 12231

3332xxx?xxx?xxx??1232231?3?2?2?3， 由于1232x12x22?x22x32?x12x32??2?2?1?3，

222????2?????2??????3。 13132233所以原式

222222223?xxx?2(xxx?xxx?xxx3) 123123123122） 原式

?(x12x22?x22x32?x12x32?3x12x2x3?3x1x22x3?3x1x2x32) ?(x12x2?x1x22?x12x3?x22x3?x1x32?x2x32)?2x1x2x3，