高等代数 习题及参考答案

从而r?n，故14.设

?1,?2,?,?n线性无关。

?1,?2,?,?n是一组n维向量，证明：?1,?2,?,?n线性无关的充分必要条件是任一n?1,?2,?,?n线性无关，但是n?1个n维向量?1,?2,?,?n,?必线性相关，

?1,?2,?,?n线性表出。

维向量都可被它们线性表出。 证 必要性.设

于是对任意n维向量?，它必可由

?,?,?,?n线性表出，特别单位向量?1,?2,?,?n可由

充分性 任意n维向量可由12?1,?2,?,?n线性表出，于是由上题结果，即证?1,?2,?,?n线性无关。

15.证明：方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2??????????????an1x1?an2x2???annxn?bn

对任何

b1,b2,?,bn都有解的充分必要条件是系数行列式aij?0。

证 充分性.由克拉默来姆法则即证。 下证必要性.记

?i?(?1i,?2i,?,?ni)(i?1,2,?,n)??(b1,b2,?,bn)，

则原方程组可表示为

??x1?1?x2?2???xn?n，

由题设知，任意向量?都可由线性性无关。

进而，下述线性关系

?1,?2,?,?n表出，因此由上题结果可知?1,?2,?,?n线

k1?2?k2?2???kn?n?0，

仅有惟一零解，故必须有16.已知与

A?aij?0，即证。

?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?r,?r?1,?,?s有相同的秩，证明：

?1,?2,?,?r,?r?1,?,?s等价。

?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?r,?r?1,?,?s有相同的秩，

因此它们的极大线性无关组

?1,?2,?,?r的极大线性无关组也必为

证 由于

所含向量个数必定相等.这样

?1,?2,?,?r,?r?1,?,?s的极大线性无关组，从而它们有相同的极大线性无关组。

另一方面，因为它们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价。 17.设

?1??2??3????r,?2??1??3????r,?,

?r??1??2????r?1，

证明：

?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?r具有相同的秩。

?1,?2,?,?r可由?1,?2,?,?r线性表出。

证 只要证明两向量组等价即可.由题设，知现在把这些等式统统加起来，可得

1(?1??2????r)??1??2????rr?1，

于是

?i?1111?1??2???(?1)?i????rr?1r?1r?1r?1，

(i?1,2,?,r)

即证

?1,?2,?,?r也可由?1,?2,?,?r线性表出，从而向量组?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?r等价。

18.计算下列矩阵的秩：

?011?12??1?02?2?20??2????0?1?111??3???1101?10??1） 2）??1?0?1412682???610421917??0????76341??1???353015205?4??3）

4）

?1?20301025210?4?20??6?11??001? 014?025??136??31432?63277??

?1?1??0??0?05）?0100?1000??1100??0110?1011??。

解 1）秩为4；2）秩为3；3）秩为2；4）秩为3；5）秩为5。 19.讨论?,a,b取什么值时，下列方程有解，并求解。