传递过程原理讲课提纲04粘性流体运动的微分方程及其应用2 - 百（精）

0(02 2 =??+ ??=???- ???y u x u x y y x y x 即 ψψ

(不可压缩流体连续性方程用流函数表示的结果

ψ亦可表述为:穿过由基准流线和任一流线及垂直于纸面方向上

的单位厚度流道所构成的体积流量。 即 d Q =ψA - ψB = d ψ 不难看出:① 当ψ= 常数时,其所表示的即为流线

x y

u dx u dy =;

② 流速越大的地方,流线越密集;

③ 流体流过曲线c 的单位厚度流量等于曲线c 上A 、B 两点的流函数差;

5 柱坐标中流函数的定义式 定义: α ψrd u r ?= r u ??- =ψα

§6 势流及势函数 1 概念

势流函数:即速度势(V elocity Potential 函数。

根据势能的概念可知:在重力场中,单位质量流体(固体势能Ω的变化d Ω等于将流体升举一个微分高度所做的功,即:

d Ω= - gdz 或 - g=d Ω/dz (注意:流体势能的意义p+ρgz 线 图 27

将此概念引入速度问题,规定一个函数φ,并定义: x u x ??= φ

可见,流体沿x 方向的运动速度是其在x 方向的速度势梯度。 2 用势函数表示的不可压流体的二维流动连续性方程 直角座标中,不可压流体的二维流动连续性方程为:

0=??+ ??y u x u y x

引入速度势概念则有 02 2 22 =??+ ??y x

φφ(不可压流体连续性方程用势函数表示

此即为Laplace 方程。通过引入Laplace 变换,并已知适当的边界条件,即可求解。

3根据势函数

x u x ??= φ 及 y u y ??= φ 故有: x u y

u y x ??=?? (x y y

x ???=???φφ2 2

即由右图28分析可知:

a 、平面上微元流体在经过d θ时间后,由于x 方向速度梯度使上层流体运动所引起的位移为

θdyd y u x ??

(顺时针方向; b 、同理,在y 方向引起的位移为 θdxd x