传递过程原理讲课提纲04粘性流体运动的微分方程及其应用2 - 百（精）

即: ρ p u u y x + Ω-+ 2 2 2 121= 常数 或: Ω-+ ρ p u 2 2

= 常数 此即为著名的柏努利(Bernoulli方程。 5 讨论

① 由有势运动(无旋运动可知:只有对于理想流体流动才会有势函数(无旋运动存在。对实际流体,由于其粘性,将会使流体微元发生有旋运动。

② 尽管实际流体不存在势函数,但其流函数仍然存在。只要该流体满足连续性方程,而并不需要满足流体不可压缩条件。 6 流网、势线与流线的关系

流网:由一组等势线和一组流线所交织成的图称为平面有势(无旋运动流网。 流网的特性:等势线与流线必然正交。 证明:对等势线,其方程为φ(x, y=常数

或 ?φ ?φ dx + dy = 0 ? u x dx + u y dy = 0 （法线向量） ?x ?y （切线向量） 对流线: u x dy ? u y dx = 0 即： ?ψ = u x （流线） ?y 而对势线： ?φ = u x （势线） ?x 又在直角座标中：x⊥y 故: ?φ ?ψ = 即φ与ψ正交。 ?x ?y 7 应用举例 例 A. 对于稳态二维流动的流体，已知某流场的速度向量形式为 u ( x, y = 3 x 2 yi + 4 xy 3 j ① 试求出过点（1，3）的流线方程； ② 判别其无旋性（有势性） 。 解： ① 流线方程的一般形式为 由已知向量形式可知： 对稳定二维流动 dΨ= 0 即: 3 x 2 ydy ? 4 xy 3 dx = 0 故 dψ = u x dy ? u y dx u x = 3x 2 y u y = 4xy 3 ∫y dy 2 = 4 dx 3∫ x 即: 1 1 4 = ? ln x + c 或 y = ?4 y 3 ln x + c 3 3 1 ? 4 ln x 又该流线过点（2，3）故 c= 1/3 y= 此即为过点（1，3）的流线方程。 ② 判别有旋性（有势性） 若流体有势，则应满足 即: ux dx + uydy=0 u dy =? x dx uy 或 ?u y ?x = ?u x ?y 34

对方程求导: 4 dy ? 3(1 ? 4 ln x ' 4 3x = y' = = = 2 2 dx (1 ? 4 ln x (1 ? 4 ln x 3x(1 ? 4 ln x 2 又: 2 2 ux 3x 2 y 3x 3 (1 ? 4 ln x x(1 ? 4 ln x ? =? =? 2 =? x =? uy 4 9 12 4 xy 3 4y 可见在一般情况下，该流体均为有旋运动，即为非理想流体。 例 B. 已知二维流场中， 稳态流动下的速度向量为 u(x,y = 3xy2i + 3x2yj， 且流线过点 （1， 。 2） 试问其是否作无旋运动。若无旋，试求其势函数φ及流函数ψ，并证明φ与ψ正交。 解：①由题可知: ux = 3xy2，uy=3x2y 若作无旋运动，则应满足: ?u y ?x = ?u y ?u x ? = 6 xy ?y ?x ?φ ?x ?u x = 6 xy ?y 3 2 2 x y + c( y 2 由此可判断其作无旋运动（有势运动） 又: u x = 3 xy 2 = 故 φ= ?φ = 3 x 2 y + c' ( y = u y = 3x 2 y ?y 故: 于是: c’(y = 0 即 c (y = 常数=c φ= 3 2 2 x y + c ―――势函数 2 ②对于稳定的二维运动，其流函数应满足： u x dy ? u y dx = 0 即: 3 xy 2 dy ? 3 x 2 ydx = 0 即: ydy =

xdx→ y2 = x2+c 当其过点（1，2）时有: 22 = 12+ c ? c = 3 即: y2 = x2 + 3 或 y = ± x2 + 3 ③正交性 若流线ψ的切线与势线φ的法线二者斜率相等，则φ与ψ正交 对流线: y2 = x2 +3 故 2yy’ = 2x 即: k1=y’= x/y——流线切线斜率 对势线: φ = 3/2 x2y2 +C 在等势线（φ=C1）上，有：C1 = 3/2 x2y2 +C 即: x2y2 = C2 故

即: y' = ? c2 又由于 x =1 时 y = 2 故 C2 = 4 yx 3 即: y' = ?4 4y 4y y =? 2 2 =? =? 3 c2 x x yx y x x 1 x =－ 1，即φ与ψ正交。 36

则势线的法线斜率 k2= ? k1*k2= -