应力强度因子

k值，目前在文献中用有限元法求解应力强度因子大致可以分成直接法和间接法两种，直接法是指由有限元计算输出的应力或位移求k值。间接法则是通过有限元求出某些中间量，进而导出k值。 2.6.1 直接法

常用的直接法一般有以下三种： (l)采用非奇异元的位移法

有限元计算所得的结点位移，通过近裂纹尖端区位移与应力强度因子之间的关系，求得一组应力强度因子值。一般建议用由裂尖起始的，沿?为常数(通常取?=180)的射线上的结点位移。在裂纹面上取若干结点的位移，作出k-r/a的关系图。在r/a=0的小区域内，由于采用常规单元体体现不了裂纹尖端的奇异性，可能会出现k的异常变化，为了提高求解精度，可将k-r/a的直线段外延到与纵轴k的交点，交点的值即为所求的k。

(2)采用非奇异元的应力法

与位移法类似，可利用裂尖区应力场与应力强度因子的关系求k值。

K??ij2?r fij(?)以有限元结点或高斯点的应力值代入上式。并采用与位移法类似的由k-r/a直线段外推到，r/a=0，便能确定应力强度因子值。

对于基于位移假设的有限元解法，由干位移的计算精度比应力的精度高，而且裂尖区应力的奇异性在常规元中又不能体现，所以通常都是由位移解来导出应力强度因子值。

(3)裂尖奇异元

用常规的非奇异元来求解裂纹问题的一大困难是需要用很细的网格，即大量的自由度，才能使应力强度因子解达到一定的精度水平，为了压缩计算工作量，发展了各类具有1/r奇异性的裂尖奇异元，这些奇异元自身所具有的应力与应变1/r奇异性使得用较小的自由度便能达刭一定的求解精度，然而这些奇异元在某些方面也有着不足之处，如：缺乏刚性位移，与常规元不易协调，在通用的结构分析有限元程序中并不具备，因此应用起来较麻烦等等。后来出现的一种新

的奇异元则克服了以上的不足，这种新的奇异元就是由广为使用的二次等参元退化而成的四分之一结点奇异元。

四分之一结点的四边形单元的这种奇异性只在单元的两个侧边上才存在。而在单元内部，任一条自裂尖起始的射线上奇异性并不存在。然而，如果把四边形的一条边压缩成位于裂尖的一个点，并把两侧边的中结点向裂尖移到四分之一边长的位置，则沿自裂尖出发的任一条射线，这种经畸变后的裂失单元通常称为畸变的（或退化的）四分之一结点奇异元。由于一般的有限元程序中都含有8结点二次等参元（三维则为20结点六面体等参元），所以采用这种四分之一结点奇异元能够在一般的有限元程序中实现，且不需对程序作任何修改。所需要做的只是在输入文件中写进畸变后单元的结点坐标（而其他类型的裂尖奇异元法则需要有限元程序本身就具有这些裂尖奇异元，这就大大地限制了它们的使用范围）。另外，这种四分之一结点奇异元不存在与周围的非奇异元不相容的问蹲。由于这些明显的优点，这种裂尖元得到了非常广泛的应用。 2.6.2 间接法

应用直接法遇到的一个主要问题是：由于裂纹尖端的奇异性，应力在r=0时以1/r。方式趋于无穷。为了保证解的精度，在用常规非奇异元时需要把网格划得很细，从而导致自由度和计算量的增加，解决这一问题除了上面已讨论的奇异元外，还可以采用各种间接法，如能量释放率，J积分，刚度导数等方法间接地导出应力强度因子。 (1)能量释放率法

线弹性断裂力学的理论已证明，应力强度因子k与裂纹体能量释放率G之间有如下关系。

K?E'G

E'?E/(1??)

2计算G的一个简单方法是进行两次有限元计算，在一个计算中取裂纹长度为a，在另一个计算中释放紧靠裂纹尖端的一个结点，用公式计算应变能。取两个计算之差值，可得能量释放率,由此便能得到k值。这种方法的优点是对网格细化的程度要求较低。

(2)J积分法

J积分为应力强度因子的求解提供了另一种数值方法，积分是沿着包围裂纹尖端的某路径的一个线积分，其定义是

J??(wdy?T.?uds) ?x式中w为应变能密度，T为积分路径的外法线方向的面力矢量，U为位移矢量，ds是沿积分路径的弧长。

Rice已经证明了J积分的路径无关性。这一特性为J积分的计算带来很大方便。由于积分路径可选在近裂尖区以外，因而就降低了对裂尖区单元及其密度的要求。

在线弹性条件下，J积分与应变能释放率G是等同的，因此由J积分可得应力强度因子k。为了计算J积分，必须有一个根据其定义式建立的一个专用的计算机后处理程序,并要有一个描述数值积分路径的子程序。如果在计算机中采用的是二次等参元，则最好选择通过单元Gauss点（而不是结点）的路径。在大多数情况下，用2x2的积分比用高阶积分所得的结果会更好些。

目前，J积分的原理与应用范围已经分别得到发展与扩大，可以用于变厚度板、非均匀温度场以及有体力的情况并可用于裂尖应力场具有非负二分之一奇异性的情况。

第三章 三维裂纹问題

工程实际中的裂纹一般都是以非穿透厚度裂纹的形式出现的。即使对于穿透裂纹来说，在绝大多数情况下，它在起始阶段也是非穿透裂纹。为分析方便，这类非穿透裂纹一般用椭圆内埋裂纹，半椭圆表面裂纹和四分之一椭圆角裂纹来代表。三维裂纹问题与二维的显著区别是。应力强度因子沿着裂纹前缘变化，即k是参量角的函数。在三维裂纹前缘与物体表面的交点附近，应力具有非-l/2的奇异性，因此，严格说来，建立在-l/2奇异性基础上的k是没有意义的。然而已经发现，这种现象属一种很薄的边界层效应。对工程应用而言，一般可采用将内部的k值外延的方法解决。

由于问题的复杂性，三维裂纹问题的精确解还只限于无限体中内埋椭圆裂纹

的情况。对于工程中最常见的表面裂纹和角裂绞问题，则必须采用各类近似解法，这些解法主要有：有限元法，边界积分方程（边界元）法，混合法，解析变分法，权函数法，能量法，局部一整体法等。

3.1 有限元法

与二维问题类似，三维裂纹分析的有限元法按采用的单元类型也可以分为常规元与奇异元两类。 3.1.1 各种单元 (l)常规元

用常规元解三维裂纹问题时，由于这种单元不具有奇异性，因此若基于位移或应力直接求解三维应力强度因子，则必须极大地增加自由度才能达到一定的精度。

Hall等人提出了一种三维的“宏单元”(macroelement)方法。这种方法首先把裂纹体分割为两个或多个由20结点等参元组成的子结构，用一个简单的20结点单元来代表裂纹所在的区域。然后再把这个含裂纹的区域模拟为一个宏单元。这个宏单元在裂纹前缘附近区域内有高密度的结点，并且与相邻的标准20结点等参元相容。这种方法能适用于任意形状的三维裂纹体。

(2)奇异元

为了更准确地描述裂纹前缘的应力奇异性，发展了几种特殊的单元。这些单元内的应力呈1/r奇异性，因而将使三维裂纹有限元分析所需的自由度明显降低。

Traccy提出了一种6结点的五边形奇异元，这种单元把裂纹前缘分割成若干线性区段，对于对称的三维裂纹，通常把裂纹前缘分割成8个奇异元。在裂纹体的其余部分，则利用8结点六面体等参元。

Stern和Becker，Blackburn和Hellen提出了6结点（二维）和1 5结点的奇异元。这种15结点的五边形单元侧面为曲线形，它有6个角结点和9个中间结点，因为单元的侧面可为曲线，所以可用抛物线弧段近似地代表三维裂纹的前缘。这类奇异元与标准的20结点等参元是相容的。