2019届山东省烟台市高三数学(理科)一模试题答案及解析

【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，关键是求出数列{bn}的通项公式，属于综合题．

18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，AC⊥DC，以AC为折痕将△ABC折起，使得平面ABC⊥平面ACD． （1）设E为BC的中点，求证：AE⊥平面BCD： （2）若BD与平面ABC所成角的正切值为

，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．

【分析】（1）推导出CD⊥平面ABC，从而CD⊥AE，再求出AE⊥BC，由此能证明AE⊥平面BCD．

（2）由DC⊥平面ABC，知∠DBC即为BD与平面ABC所成角，从而在直角△DCB中，

，以C为坐标原点，分别以

所在的方向作为x轴、y轴的正

方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C的余弦值． 【解答】证明：（1）因为平面ABC⊥平面ACD， 平面ABC∩平面ACD＝AC，CD?平面ACD，CD⊥AC， 所以CD⊥平面ABC．………………………（1分）

又AE?平面ABC，所以CD⊥AE．………………………（2分）

在等边△ABC中，因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．…………………（3分） 因为AE⊥CD，AE⊥BC，CD∩BC＝C， 所以AE⊥平面BCD．…………………（4分）

解：（2）由（1）知DC⊥平面ABC，所以∠DBC即为BD与平面ABC所成角， 于是在直角△DCB中，以C为坐标原点，分别以空间直角坐标系C﹣xyz． 设等边△ABC的边长为a， 则

，C（0，0，0），A（0，a，0），

，

，

．…………………（5分）

所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的

，

．……………………（7分）

设平面ABD的一个法向量为＝（x1，y1，z1），

，，

则，即，

令z1＝1，则分）

，，于是＝（，）．……………………（9

设平面BCD的一个法向量为＝（x2，y2，z2），

则，即，

解得x2＝0，令z2＝1，则分） 所以cos＜

＞＝

，于是＝（0，﹣，1）．……………………（11

＝＝﹣．

由题意知二面角A﹣BD﹣C为锐角，所以二面角A﹣BD﹣C的余弦值为

．……………………（12分）

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19．（12分）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4． （1）求抛物线C的方程；

（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得

直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．

【分析】（1）由题意可得|AB|＝2p＝4，即可求出抛物线的方程， （2）设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立

消去x，得y2﹣4y﹣4＝0，根据韦达定

理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标 【解答】解：（1）因为

，在抛物线方程y2＝2px中，令

，可得y＝±p．

于是当直线与x轴垂直时，|AB|＝2p＝4，解得p＝2． 所以抛物线的方程为y2＝4x．

（2）因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，所以M（﹣1，﹣2）． 设直线AB的方程为y＝x﹣1， 联立

消去x，得y2﹣4y﹣4＝0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4，y1y2＝﹣4． 若点P（x0，y0）满足条件，则2kPM＝kPA+kPB， 即

，

因为点P，A，B均在抛物线上，所以．

代入化简可得

将y1+y2＝4，y1y2＝﹣4代入，解得y0＝±2． 将y0＝±2代入抛物线方程，可得x0＝1． 于是点P（1，±2）为满足题意的点．

，

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合性强．

20．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．

（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；

（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．

（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ

2

），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．

利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．

（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望． 参考数据：0.7734．

．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝

【分析】（1）直接由平均数公式及方差公式求解；

（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，则X～N（9，1.78），求出σ，结合已知公式求解P（X≤10）．

（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，可得Z～B（20，0.2266），由P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1）求解P（Z≥2），再由正态分布的期望公式求Z的数学期望E（Z）． 【

解

答

】

解

：

（

1

，

s2＝（6﹣9）2×0.03+（7﹣9）2×0.1+（8﹣9）2×0.2+（9﹣9）2×0.35+（10﹣9）2×0.19+（11﹣9）2×0.09+（12﹣9）2×0.04＝1.78；

）