2019届山东省烟台市高三数学(理科)一模试题答案及解析

属于基础题．

14．（5分）己知x，y满足约束条件的最小值是 ．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．

【解答】解：作出x，y满足约束条件的对应的平面区域如图：

由z＝2x+y得y＝﹣2x+z， 平移直线y＝﹣2x+z，

由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小， 此时z最小，由此时z＝

×2+．

＝

，

解得A（

，

）

故答案为：

【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．

15．a，b，c分别为内角A，B，C的对边，（5分）在△ABC中，若则△ABC周长的最大值为 6 ．

sinAsinB＝【分析】由正弦定理化简已知等式可得：＝

，结合范围A∈（0，π），可求A＝

sinBcosA，结合sinB＞0，可求tanA

，

，由余弦定理，基本不等式可求4≥bc，进

而可求b+c≤4，即可计算得解△ABC周长的最大值．

【解答】解：∵

∴由正弦定理可得：sinAsinB＝∵sinB＞0， ∴sinA＝

cosA，可得：tanA＝

，

， sinBcosA，

∵A∈（0，π）， ∴A＝

，

∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得：4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c时等号成立，

∴由4＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2＝4+3bc≤4+3×4＝16， 即b+c≤4，当且仅当b＝c时等号成立，

∴△ABC周长a+b+c≤2+4＝6，即其最大值为6． 故答案为：6．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 16．（5分）已知f（x）＝

，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的

实根，则实数m的取值范围是 （结果用区间表示）．

【分析】由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得：f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，

由函数图象的性质及利用导数求切线方程可得：设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0），由f′（x）＝

，则此切线方程为：y﹣lnx0＝

（x﹣x0），又此直线过原

点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝围是m

，得解

再结合图象可得：实数m的取值范

【解答】

解：由f（x）＝

，

可得：y＝f（x）在（0，4e）的图象关于直线x＝2e对称，

f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2， y＝f（x）的图象与直线x＝mx的位置关系如图所示， 设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0）， 由f′（x）＝

，

则此切线方程为：y﹣lnx0＝又此直线过原点（0，0）， 则求得x0＝e， 即切线方程为：y＝

，

（x﹣x0），

由图可知：当y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2时， 实数m的取值范围是m故答案为：（﹣∞，

）．

，

【点评】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数的相互转化、函数图象的性质及利用导数求切线方程，属难度较大的题型．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：

60分．

17．（12分）已知数列{an}中，

（1）记bn＝log2（an+1），判断{an}是否为等差数列，并说明理由： （2）在（1）的条件下，设

，求数列{cn}的前n项和Tn．

．

【分析】（1）根据题意，由于bn＝log2（an+1），分析可得当n＝1时，计算可得b1的值，当n≥2时，分析bn﹣bn﹣1的值，综合即可得答案； （2）由（1）的结论求出{bn}的通项公式，进而可得案．

【解答】解：（1）根据题意，bn＝log2（an+1）， 当n＝1时，有b1＝log2（a1+1）＝log22＝1； 当

n≥2

时，

＝

，由错位相减法分析可得答

；

所以数列{bn}是以1为首项、公差为1的等差数列．

（2）由（1）的结论，数列{bn}是以1为首项、公差为1的等差数列，则bn＝2+（n﹣1）＝n， 则

，于是

，

，① ，②

①﹣②可得：

，＝

，

所以．