导数的概念-教案

教 学 内 容 备 注 2.1导数的概念

教学内容：

微分学是高等数学的重要组成部分之一，导数与微分是微分学的两个最基本的概念。本章将在函数极限的基础上，从实际例子出发引入导数与微分的概念，进而建立起一整套微分运算的法则。

导数的概念最初是从寻找曲线的切线以及确定变速直线运动的瞬时速度而产生的，它在自然科学的许多领域中有广泛的应用.如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等等.所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率，即导数.

一、引例

1、变速直线运动的瞬时速度

设物体沿直线作变速运动，其规律为s=f(t),其中s表示位移，t表示时间.求物体在运动过程中某时刻t=t0的瞬时速度v(t0).

当t在t0取得增量?t时,则在t0到t0??t的时间段内,位移的增量?s?f(t0?t)?f(t0).

?sf(t0??t)?f(t0)?即为t0到t0??t这段时间内的平均速度.容易看出，当|?t|越小时，平均速度将越接近瞬时?t?t速度，当?t无限趋近于零时，平均速度也将无限趋近瞬时速度.为此，瞬时速度定义为平均速度当?t?0时的极限，

f(t0??t)?f(t0)?s?lim即 v(t0)?lim

?t?0?t?t?0?t?s?s平均速度称为位移s在t0到t0??t时间段内的平均变化率，而瞬时速度lim则称为位移s在时间t?t0的(瞬

?t?0?t?t时)变化率. 局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速

度的精确值.

2、平面曲线的切线斜率

y定义

M设点M0是曲线 L 上的一个定点，点M是曲线 L 上

T?y的动点，当点M沿曲线 L 趋向于点M0时，如果割线MM0的极限位置M0T 存在，则称直线M0T为曲线 L 在点M0处的切线.

设割线M0M的倾斜角为?，于是割线的斜率是

M0?x Ntan???yf(x0??x)?f(x0)? ?x?x?O?x0x0??xx设切线M0T的倾角为?，点M沿着曲线无限趋近于

???，点M0，即?x?0，得到切线M0T的斜率为：k?tan??limtan??lim???f(x0??x)?f(x0)?y?lim

?x?0?x?x?0?x 这就是说，曲线y?f(x)在点M0处的纵坐标y的增量?y与横坐标x的增量?x的比值，当?x?0时的极限为曲线在M0点处的切线的斜率。

教 学 内 容 备 注 上述两个问题，一个是物理问题，另一个是几何问题.它们的实际意义不同，但如果撇开两个极限的实际意义，那么不外乎是把所求的量归结为：求当自变量的增量趋向于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限。 二。导数的概念 1. 导数的定义

定义 设函数y?f(x)在点x0及其附近有定义，当x从x0增加到x0??x时，相应地函数有改变量

?y?f(x0??x)?f(x0),如果极限 limf?x0??x??f?x0??y?lim

?x?0?x?x?0?x存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y?f(x)在点x0处的导数，记作

f'(x0) , y'x?x, 0dydf 或 dxx?x0dx，即f??x0??limx?x0f?x0??x??f?x0??y?lim.?

?x?0?x?x?0?x如果极限不存在，则称函数y?f(x)在点x0处不可导.

令x0??x=x，则当?x?0时，有x?x0，因此在点x0处的导数f??x0?也可表示为

f??x0??limx?x0f?x??f?x0?. x?x0h?0另外，导数的定义式也可以取不同的形式，如f'(x0)?lim式中的h就是定义式中的自变量的增量?x.

根据导数的定义，上述两个实际问题又可叙述为：

f(x0?h)?f(x0)

h（1）作变速直线运动的物体在时刻t0的瞬时速度，就是路程函数S?f(t)在t0处对时间t的导数.即

V(t0)?ds. dtt?t0（2）曲线y?f(x)在点M0?x0,y0?处的切线斜率，就是函数y?f(x)在点x0处对自变量x的导数.即

k?y?x?x0.

这反映了函数变化率问题，反映因变量随自变量的变化而变化的快慢 区间内可导、导函数

区间内可导： 若函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数f(x)在区间(a,b)内可导。

导 函 数： 这时函数y?f(x)对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成

教 学 内 容 备 注 一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数y?f(x)的导函数，记作f?(x)，或y?，常简称为导数。 2．左右导数

定义 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此：

dydf(x)，等。导函数通dxdx?y 存在，我们就称它为函数y?f(x)在x=x0处的左导数。

?x?0?x?y 若极限lim? 存在，我们就称它为函数y?f(x)在x=x0处的右导数。

?x?0?x 若极限lim?我们根据“函数f(x)在点x0处的极限存在的充要条件是在该点处：左右极限存在且相等”得到： 定理1 函数f(x)在点x0处的左、右导数存在且相等是f(x)在点x0处可导的充要条件。

例1（教材里2.1.2）【铜矿开采费】从一个铜矿中开采T吨铜矿的花费为C?f?T?元, f??2000??100意味着什么？

解 对于f??2000??dCdTT?2000?100. 因C的单位为元, T的单位为吨, 所以

dC的单位为元/dT吨,f??2000??100表示当铜矿有2000吨从矿中开采出来时, 每再开采1吨铜矿需花费100元. 3．导数的几何意义 1切线斜率：函数y?○

f(x)在点x0处的导数f?(x0)在几何上表示：

曲线y?f(x)在点M0[x0,f(x0)]处的切线斜率.

法线的定义：过切点M0[x0,f(x0)]且垂直于切线的直线叫做曲线y?f(x)在点M0[x0,f(x0)]处的法线。 2 切线方程： 如果f?(x0)存在，则曲线y?○

f(x)在M0[x0,f(x0)]处的切线方程为y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

法线方程： 如果f?(x0)存在，则曲线y?f(x)在M0[x0,f(x0)]处的法线方程为

y?f(x0)??1(x?x0)，（f?(x)?） 00f?(x0)3当f?(x0)?0时，切线方程为平行于x轴的直线y?f(x0)，法线方程为垂直于x轴的直线x?x0。 ○

当f?(x0)??时，切线方程为垂直于x轴的直线y?f(x0)，法线方程为平行于x轴的直线x?x0。 例1 求抛物线y?x在点（1,1）处的切线方程和法线方程.

解 由例1知道yx?1?2，又由导数的几何意义知道kt??y'x?1?2，所以，所求的切线方程为y?1?2(x?1)，

2

教 学 内 容 备 注 即 y?2x?1.法线方程为y?1??三．求导举例

由导数的定义可知，求y?f(x)的导数y?的步骤：（1）求函数的改变量?y?f(x0??x)?f(x0) （2）算比值（3）求极限 lim113?x?1?，即 y??x? 222?y ?x?y 。

?x?0?x下面，我们根据导数的定义来求出常数和几个基本初等函数的求导公式，以及列举一些变化率的例子. 例2 求y?bx?c的导数（b,c为常数）。

)?f(x)?b(x??)x?c?(bx?)c?x）算比值： 解： （1）求增量： ?y?f(x??x b ?（2

（3）取极限： y??lim例3 求函数y?sinx的导数。

?yb?x??b ?x?x?y?b 特别地，当 b?0 时，得到 (c)??0

?x?0?x?x) sin 2?x?x?x2cosx(?)sinsin?y?x22 （2）算比值： ??cosx(?)2

?x?x?x22?xsin?y?x2 （3）取极限： y??lim?limcos(x?)?x?0?x?x?0?x22(??x?)解： （1）求增量： ?y?sinxsxi?n四．可导与连续

下面我们一起来研究可导与连续的关系,先回顾一下什么是连续？

定理 如果函数y?f(x)在点x0处可导，则y?f(x)在点x0处连续。 即 “ 可导?连续 ” 证明：由f(x)在点x0处可导得： lim?x2xc?os(2?y?y?(?f?x()lim?y??x?f?0 0 所以， ， 从而 00x)*?x?0?x?x?0?xy?f(x)在点x0处连续。

注意：逆命题不成立，即如果函数f(x)在点x0处连续，但函数在点x0处不一定可导。

教 学 内 容 备 注 y?xx?0y?x????xx?0例如绝对值函数y?x在点x0?0处连续，但它在点x0?0处不可导：ox

?y0??x?0?x?1x?0 ????? ?y??x?x?x??xx?0?y?y?1lim??1 ， ， （左右极限存在但不相等）

?x?0??x?x?0??x?ylim 不存在，即y?x在点x0?0处不可导。 ? ?x?0?x? lim以上讨论表明: 如果函数f(x)在点x0处可导则必连续, 但反之不然. 从曲线形态上看, 连续只是没有间断点, 而可导不仅仅是连续的, 从直观上看曲线还呈“圆弧”状的,不存在任何“疙瘩”或“尖点”.

五、小结

1. 导数的实质: 增量比的极限；2．f?(x0)?a?f??(x0)?f??(x0)?a;

（如果已知分段函数在分段点x0连续，总是通过等式f??(x0)?f??(x0)是否成立，来判断函数

在该分段点是否可导？）

3. 导数的几何意义: 切线的斜率;

4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;

5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.（实际求导时，除分段函数的分段点必须用导数定义求导外，都直接用已推出的导数公式求导，但不少证明题由于题目给定的条件所限，有时必须用导数的定义进行分析。）

思考题： 函数f(x)在某点x0处的导数f?(x0)与导函数f?(x)有什么区别与联系？

区别是：一个是数值，另一个是函数．联系是：在某点x0处的导数f?(x0)即是导函数f?(x)在x0处的函数值．

六、作业