配套K12考点17 正、余弦定理及解三角形-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过

小学+初中+高中+努力=大学

，故△ABC周长的取值范围为

4．在△ABC中，内角（1）求； （2）当

时，求

的取值范围． 所对的边分别是

，已知

.

.

5．在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，且△ABC的面积（1）求；

（2）若、、成等差数列，△ABC的面积为，求.

考向四 三角形中的几何计算

.

几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.

典例6 如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且DA?DC，已知B?π，BC?1. 4

（1）若△ABC是锐角三角形，DC?（2）若△BCD的面积为

6，求角A的大小； 31，求AB的长. 66π，BC?1，DC?，

34【解析】（1）在△BCD中，B?由正弦定理得

BCCD，解得sin?BDC??sin?BDCsinB1?22?3，

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所以?BDC?π2π或. 332π. 3因为△ABC是锐角三角形，所以?BDC?又DA?DC，所以A?π. 321π1， ?BC?BD?sin?，解得BD?324622255π??，解得CD?， ?1??2?1?932934（2）由题意可得S△BCD?由余弦定理得CD2?BC2?BD2?2BC?BD?cos则AB?AD?BD?CD?BD?5?2. 3所以AB的长为

5?2. 3

6．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?b(sinC?cosC).

（1）求角B的大小； （2）若A?π，D为△ABC外一点，DB?2，DC?1，求四边形ABCD面积的最大值. 2考向五 解三角形的实际应用

解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦小学+初中+高中+努力=大学

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定理求解.

典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15???BAC?15??方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60?方向上，此时测得山顶P的仰角为60?，若山高为

23千米，

（1）船的航行速度是每小时多少千米？

（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？

（2）在△BCD中，由余弦定理得CD?6，

在△BCD中，由正弦定理得CDBC2??sin?CDB?, sin?DBCsin?CDB2所以山顶位于D处南偏东45?方向.

7．某新建的信号发射塔的高度为AB，且设计要求为：29米?AB?29.5米.为测量塔高是否符合要求，小学+初中+高中+努力=大学

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先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C,D，测得?BDC?60?， ?BCD?75?，

CD?40米，并在点C处的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE?1米，则发射塔高

AB?

?C．?40A．202?1米

?2?1?米

?D．?4022B．206?1米

?6?1?米

考向六 三角形中的综合问题

1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“a?b,ab,a?b”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.

2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.

3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.

典例8 在△ABC中，已知C?（1）求A的值；

π，向量m?(sinA,1)，n?(1,cosB)，且m?n. 6uuuruuur（2）若点D在边BC上，且3BD?BC，AD?13，求△ABC的面积．

【解析】（1）由题意知m?n?sinA?cosB?0，又C?π5π?A)?0，，A?B?C?π，所以sinA?cos(66即sinA?又0?A?π31cosA?sinA?0，即sin(A?)?0.

6225πππ2πππ，所以A??(?,)，所以A??0，即A?. 666366uuuruuuruuruuuruuurπ2π（2）设|BD|?x，由3BD?BC，得|BC|?3x，由（1）知A?C?，所以|BA|?3x,B?. 632π222在△ABD中，由余弦定理，得(13)?(3x)?x?2?3x?xcos，解得x?1，所以AB?BC?3，

3所以S△ABC?112π93. BA·BC·sinB??3?3?sin?2234典例9 △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 小学+初中+高中+努力=大学