2018级成考专升本数学与应用数学专业12月份考试资料初等数论复习资料

2019年成人高考12月份期末考试各科考试资料

《初等数论》复习资料(一)

一、计算题

1.求[136,221,391]=？

2.求解不定方程9x?21y?144。

3.解同余式12x?15?0(mod45)。

?429???563?,其中563是素数。 （8分） 4.求?

二、证明题

nn2n3??326n1.证明对于任意整数，数

是整数。

2.证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除。

3.证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和。

《初等数论》复习资料(一)答案

一、计算题

1、 求[136,221,391]=?

解 [136,221,391]

=[[136,221],391]

136?221,39117 =[]

=[1768,391]

1768?39117 =

=104?391

=40664.

祝君早日毕业

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2、求解不定方程9x?21y?144.

解：因为（9，21）=3，3144，所以有解； 化简得3x?7y?48；

考虑3x?7y?1，有x??2,y?1， 所以原方程的特解为x??96,y?48， 因此，所求的解是x??96?7t,y?48?3t,t?Z。

3、解同余式12x?15?0(mod45).

解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于4x?5?0(mod15),即4x?5?15y. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的

x0?10.

因此同余式的3个解为

x?10(mod45),

x?10?45(mod45)?25(mod45)3,

45(mod45)?40(mod45)3

x?10?2?

?429???563??,其中563是素数. 4、求

?429???563?看成Jacobi符号,我们有 解 把??429????(?1)?563?429?1563?1.22?563????429?4292?18?563??134??2??67?????????????(?1)429429429429?????????67???429??祝君早日毕业

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67?1429?1.22?67???????(?1)429???27???????(?1)?67??13?????(?1)?27??429??429???????6767????

27?167?1.22?67??67???????27??27?27?113?1.22?27??1???????1?13??13?,

即429是563的平方剩余.

二、证明题

nn2n3??n326是整数. 1、证明对于任意整数,数

nn2n3n1??(2?3n?n2)n(n?1)(n?2)32666 证明 因为==,

而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,

并且(2,3)=1, 所以从

2n(n?1)(n?2)和

3n(n?1)(n?2)有

6n(n?1)(n?2),

nn2n3??26是整数. 即3

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）

332(n?1)?n?3n?3n?1, 证明 因为

2所以只需证明3n?3n?1?(mod5).

而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,

2所以这只需将n=0,±1,±2代入3n?3n?1分别得值1，7，1，19，7. 2对于模5, 3n?3n?1的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 2所以3n?3n?1?(mod5)

所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。

3、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和. （11分）

证明 设n是正数,并且n??1(mod4), 如果

n?x2?y2,

则因为对于模4,x,y只与0,1,2,-1等同余,

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22x,y所以只能与0,1同余,

所以

x2?y2?0,1,2(mod4),

而这与n??1(mod4)的假设不符, 即定理的结论成立.

《初等数论》复习资料(二)

一、计算题

1.判断同余方程组是否有解，如有解则求出其解：

2.试求方程［ ］= 的实数解。

3.解同余方程x3-2x+12≡0(mod81)

二、论证题

1.设2n-1是素数，试证n必是素数。 2.叙述并证明欧拉(Euler)定理。

3.试证不定方程x2y+1=2z+1无正整数解。

4.以f(a)表示正整数a的十进位表示的各位数码字之和，例如f(123)=1+2+3。试证 f(f(f(20022002)))=4

《初等数论》复习资料(二)答案

一、计算题 1.等价于

?x?4??x?10?x?14?(mod15)(mod16) (mod50)因(15，16)=1，(15，50)｜(14－4)，（16，50）｜（14－10） 故方程组有解，且等价于

?x?1??x?10?x?14?(mod3)(mod16)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 (mod25)列表计算如下

mi Ci Mi Mi′ CiMiMi′ 3 1 400 1 400 16 10 75 3 2250 25 14 48 12 8064

得解x≡1114（mod1200）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

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