专题10 排列组合二项式定理-2020年高考数学(理)二轮专项复习

解：Tr?1?C5(x)r25?r1(?)r?(?1)rC5rx10?3r， x22令10－3r＝4，得r＝2，所以x4项的系数是C5(?1)?10．

例2 (1)若(1＋x)n的展开式中，x3的系数是x系数的7倍，求n的值； (2)在(2＋lgx)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x的值．

31解：(1)由已知Cn?7Cn，即

n(n?1)(n?2)?7n，整理得n2－3n－40＝0，

6解得n＝8或n＝－5(舍)．所以n＝8．

(2)(2＋lgx)8的展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项．

444由已知，T5?C8?2?(lgx)?1120，整理得(lgx)4＝1，所以lgx＝±1，

解得x＝10或x?1? 101003例3 求(3x?2)的展开式中x的系数为有理数的项的个数．

解：Tr?1?C(3x)若系数为有理数，则

r100100?r3(2)?C·3rr100100?r2·2·x100?r，

r3100?rr,都必须是整数，即r应为6的倍数． 23又0≤r≤100，所以r的不同值有17个． 所以x的系数为有理数的项共有17项．

例4 已知(x?)的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，求展开式中系数最小的项．

解：T3?Cnx2n?21nn112n?45n?55n?10(?)2?Cnx,T6?Cnx(?)5??Cnx, xx52由已知Cn?Cn，所以n＝7．

所以第4项系数最小，T4?C7x37?313(?)3??C7x??35x. xrn?rr【评述】通项公式Tr?1?Cnab是二项式定理中常用的一个公式，要熟练掌握，同

时注意系数、上标、下标之间的关系；

注意系数、二项式系数的区别，如例2； 注意运用通项公式求第3项时，r＝2．如例4．

例5 已知(a2＋1)n的展开式中的各项系数之和等于(16215x?)的展开式的常数项，5x而(a2＋1)n的展开式中的系数最大项等于54，求a的值，

1615116r1625?r(x2?)的展开式的第r＋1项Tr?1?C5解：(x)()r?()5?rC5rx555xx令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，r＝4，所以常数项T5?C5?420?5r2.

16?16. 5又(a2＋1)n的展开式中的各项系数之和等于2n，由题意得2n＝16，所以n＝4． 由二项式系数的性质知，(a2＋1)n的展开式中的系数最大的项即为二项式系数最大的项，是中间项T3，所以C4a?54，解得a??3．

例6 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7．求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6；

(4)｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜．

解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1． ① 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37． ②

(1)易知a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7－a0＝－2；

24?1?37(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094；

2?1?37(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6=＝1093；

2(4)方法1：因为(1－2x)7的展开式中a1，a3，a5，a7是负数，a0，a2，a4，a6是正数，

所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜＝a0＋a2＋a4＋a6－(a1＋a3＋a5＋a7)＝2187． 方法2：因为｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜表示(1＋2x)7的展开式中各项系数的和，

令x＝1，可得｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜＝37＝2187．

【评述】通过给二项式定理中的字母赋值(根据式子的特点，常令字母为1或－1)的方式可以解决二项展开式系数整体求值的问题．

例7 若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝______．

【分析】方法1：由于a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10＝x2＋x10

[－1＋(x＋1)2]＋[－1＋(x＋1)10]

9191010＝??C10(?1)(x?1)?C10(x?1)，

9则a9?C10(?1)??10．

方法2：由于等式左边x10的系数为1，所以a10＝1，

9又，等式左边x9的系数为0，所以a9?C10a10?0，所以a9＝－10．

例8 91除以100的余数为______．

92019091?(90?1)92?C92?9092?C92?9091???C92?902?C92?90?1

92解：91前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，

91C92?90?1?8281?8200?81，所以9192除以100的余数为81．

例9求(0.998)5精确到0.001的近似值． 解：(0.998)501?C5(?0.002)?C52(?0.002)2???0.990． ?(1?0.002)5?C5【评述】利用二项式定理求余数、求近似值是二项式定理的应用之一． 例10 设a＞1，n∈N*且n≥2，求证na?1?a?1． n证明：设na?1?x，则(x＋1)n＝a．

欲证原不等式，即证nx＜(x＋1)n－1，其中x＞0．

0n1n?1n?1n?1(x?1)n?Cnx?Cnx???Cnx?1?Cnx?1?nx?1(n?2)，

即有(x＋1)n＞nx＋1，得证．

例11 (1?2x)(x?)的展开式中常数项为______．(用数字作答)

21x8解：求(1?2x)(x?)的常数项(x?)，即求展开式中的常数项及含x

21x81x8－2

的项．

对于(x?)，Tr?1?C8x1x8r8?r1(?)r?(?1)rC8rx8?2r． x44令8－2r＝0，即有r＝4，T5?(?1)C8?70．

55?2?2令8－2r＝－2，即有r＝5，T6?(?1)C8x??56x．

所以常数项为70＋2×(－56)＝－42．

练习10－2

一、选择题

1．若(x?)的展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 (A)－84

(B)84

(C)－36

(D)36

21xn2．已知(9ax9?)的展开式中x3的系数为，常数a的值为( )

4x2(B)2

(C)4

(D)8

(A)1

3．在(1＋x)5(1－x)4的展开式中，x3的系数是( ) (A)4

n

(B)－4 (C)8 (D)－8

m4．若C21与Cn同时有最大值，则m的值是( )

(A)5 (B)4或5 (C)5或6 (D)6或7