（整理）数学分析教案（华东师大版）第十一章反常积分

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ⅲ> ,

时, . ( 证 )

推论2 （Cauchy判敛法）: ( 以

.以下 > 0 )设对任何 ,

<

；若

为比较对象, 即取

且

> , 且

,

,

.

Cauchy判敛法的极限形式 : 设 正值函数. 且

. 则

是在任何有限区间

可积的

ⅰ> < ；

ⅱ>

. ( 证 )

例7 讨论以下无穷积分的敛散性 :

ⅰ>

ⅱ>

三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法:

1.Abel判敛法: 若 积分

收敛.

在区间

上可积 ,

单调有界 , 则

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2.Dirichlet判敛法: 设

上单调，且当

时，

在区间

.则积分

上有界 ， 在 收敛.

例8 讨论无穷积分

与

的敛散性.

例9 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :

, , .

例10 ( 乘积不可积的例 ) 设

,

。由例6的结

果, 积分

收敛 . 但积分

却发散.

§3 瑕积分的性质与收敛判别（2学时）

教学目的：熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。 教学重点难点：无穷积分和瑕积分敛散性的判别。

类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限

的原意写出相应的命题.

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Th ( 比较原则 ) P277 Th11.6. 系1 ( Cauchy判别法 ) P277 推论2.

系2 ( Cauchy判别法的极限形式 ) P277 推论3.

例11 判别下列瑕积分的敛散性 :

⑴

( 注意被积函数非正 ). ⑵ .

例12 讨论非正常积分

的敛散性.

注记. C—R积分与R积分的差异: 1. 上可积 ,

R

,

在

上

上有界 .

; 但

在区间

在区间

例如函数

2. 积分. |

R

,

|

| R 上可积 ,

,但反之不正确. R积分是绝对型

在区间

上可积 ,

|在区间

但反之不正确. C—R积分是非绝对型积分.

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3.

, R 上可积 ,

上可积 , 精品文档

,

R

; 但和在区间 在区间

上可积. 可见,

在区间

在区间

上可积.

2学时）

习题、小结（