（整理）数学分析教案（华东师大版）第十一章反常积分

精品文档

第十一章 反 常 积 分

教学目的：

1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义； 2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。

教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛 散性的判别。

教学时数：8学时

§ 1 反常积分概念 （2学时）

教学目的：深刻理解反常积分的概念。 教学重点难点：反常积分的含义与性质 一 问题的提出: 例（P264）. 二 两类反常积分的定义

定义1. 设函数 定义在无穷区间 区间

上可积，如果存在极限

上，且在任何有限

（1）

则称此极限J为函数 在

上的无穷限反常积分（简称

精品文档

精品文档

无穷积分），记作 ,并称

收敛.

如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称

发散.

定义2. 设函数 定义在 何内闭区间 极

上，在点 的任一右邻域内无界，但在任

上有界且可积，如果存在

则称此极限为无界函数 在

上的反常积分，记作

并称反常积分

分

发散.

收敛，如果极限不存在，这时也说反常积

例1 ⑴ 讨论积分 , , 的敛散性 .

⑵ 计算积分

例 2 讨论以下积分的敛散性 :

.

⑴

; ⑵

.

例3 讨论积分

的敛散性 .

精品文档

精品文档

例4 判断积分

的敛散性 .

例5 讨论瑕积分

的敛散性 ,并讨论积分

的敛散性 .

三 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数

连续 , 为瑕点. 有

, 把瑕积分化成了无穷积分;设

, 有

，把无穷积分化成了瑕积分.

可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 .

§2. 无穷积分的性质与收敛判定（2学时）

教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。 教学重点难点：反常积分敛散性的判别。 一 无穷积分的性质 ⑴

在区间

上可积 , — Const , 则函数

在区间

上可积 , 且

⑵

和

在区间

上可积 ,

.

⑶ 无穷积分收敛的Cauchy准则:

精品文档

.

在区间

上可积 , 且

精品文档

Th 积分

收敛 .

⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 绝对收敛

收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 .

二 比较判别法

非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有 积分敛散性记法.

⑴ 比较判敛法: 设在区间

，又对任何

> ,

和

上函数 在区间

和 上可

非负且

↗. 非负函数无穷

积 . 则 < ,

< ； ,

.

例6 判断积分 的敛散性.

推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间

. 则

上函数,

ⅰ> < < ,

与 共敛散 :

ⅱ>

,

< 时, < ；

精品文档