人教版七年级数学下册 第五章 相交线与平行线中的数学思想

相交线与平行线中的数学思想

同学们，在“相交线与平行线”这一章里，包含着很多数学思想方法，大家注意到了吗？下面我们就来归纳一下。 1、方程思想

几何中常有一些求线段的长度或求角的大小的问题，对于这一类问题，我们可以借助题中的已知量与未知量之间的关系，想办法建立方程进行求解。

例1 如图1，已知FC//AB//DE，∠α：∠D：∠B=2：3：4，求∠α、∠D、∠B的大小。

图1

分析：由已知∠α：∠D：∠B=2：3：4，可以分别设∠α、∠D、∠B为2x°、3x°、4x°，再利用已知条件列出方程进行求解。 解：设∠α=2x°，∠D=3x°，∠B=4x°

因为FC//AB//DE，所以∠2+∠B=180°，∠1+∠D=180°。从而有∠2=180°－∠B=180°－4x°，∠1=180°－∠D=180°－3x°。 又因为∠1+∠2+∠α=180°，所以有 （180－3x）+（180－4x）+2x=180 解得x=36

所以∠α=2x°=72°，∠D＝3x°＝108°，∠B=4x°＝144°

评注：解决这类问题，不仅要熟悉图形的性质，还要善于进行等量代换，把未知量和已知量逐步联系起来．当解决问题的过程比较复杂时，思路要清晰，语言表达要严密． 2、转化思想

在几何推理中，已知条件和要求的结论之间常常需要转化．转化条件、转化问题是常用的推理形式，必要时还要添加辅助线进行转化．

例2、如图2，BD⊥AC于D，FG⊥AC于G，ED//BC．试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．

图2

分析：观察图形，我们不能迅速找到∠1和∠2的关系，但由BD⊥AC于D，FG⊥AC于G，可得BD//FG，则∠2＝∠3。由ED//BC，可得∠1＝∠3．∠1和∠2都与∠3有关，我们可以借助∠3进行转化．

解：因为BD⊥AC，FG⊥AC，所以∠BDC=∠FGC＝90°．故BD//FG，从而可知∠2＝∠3．

因为ED//BC，所以∠1＝∠3． 故∠1＝∠2．

评注：这道题涉及“相交线与平行线”这一章中的重要知识点，大家要能灵活运用平行线的性质、判定定理．要看准“三线八角”，分清平行线的判定与性质，并能通过图形将条件灵活转化．

例3 如图3，一条公路GA修到湖边时，要拐弯绕湖而过．第一次拐弯形成的角是∠A，且∠A＝120°；第二次拐弯形成的角是∠ABC，且∠ABC=150°；第三次拐弯形成的角是∠C，这时的道路CD恰好和第一次拐弯之前的道路GA平行．你知道∠C是多少度吗？

图3

分析：解答此题需要借助辅助线把这三个角联系起来．既然题目中有平行关系，那么我们就要想办法把平行线和角联系起来．

解：如图3，过点B作EF//GA，则∠1＝∠A＝120°．

因为∠ABC=150°，所以∠2＝∠ABC－∠1=150°－120°＝30°． 因为GA//CD，EF//GA，所以EF//CD． 故∠2＋∠C＝180°．

从而可得∠C=180°－∠2=180°－30°=150°

评注：在解题的过程中，有时仅利用现有条件不容易得出结果，这时我们就要巧妙添加辅助线，将问题与条件进行转化。 3、分类讨论思想

在几何题中，有些题目未给出图形，这时我们就要结合题意画出图形，再解决问题。这一过程常具有多样性，我们需要分类讨论。

例4 在∠ABC和∠DEF中，DE//AB，EF//BC，请你尝试探索∠ABC和∠DEF的关系。

分析：这道题的图形有很多种不同的画法，但题中的两个角的关系只有两种，如图4（1）和图4（2）。

解：如图4，有两种不同的情况。

在图4（1）中，因为DE//AB、EF//BC，所以∠ABC=∠1，∠1=∠DEF。故∠ABC=∠DEF。

在图4（2）中，因为DE//AB，所以∠ABC+∠1=180°。又因为EF//BC，所以∠1=∠DEF。故∠ABC+∠DEF=180°。

评注：题中没有给出图形，我们画图时要考虑可能存在的所有情况，以免漏解。